A função densidade de probabilidade de X é dada por
f(x)=(a+b x^2) I[0,1](x)
Se E(X)=35, determine a e b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade dada por no intervalo . Nosso objetivo é encontrar os valores de e sabendo que a esperança matemática é igual a . Para isso, vamos usar propriedades das funções de densidade de probabilidade e a definição de esperança.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma função densidade de probabilidade integral0^1 (a + b x^2) , dx = 1 deve satisfazer duas condições:
  1. para todo no intervalo.
  2. A integral de sobre todo o intervalo deve ser igual a 1.
No nosso caso, o intervalo é , então temos:

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
integral0^1 a , dx + integral0^1 b x^2 , dx = a cdot (1 - 0) + b cdot ( x^33 |0^1 ) = a + b3
Então, temos a primeira equação:
a + b3 = 1

Passo 4

Agora, vamos usar a definição da esperança matemática E(X) = integral0^1 x cdot f(x) , dx = 35 :
integral0^1 x (a + b x^2) , dx = 35
Substituindo na expressão:

Passo 5

Vamos calcular essa segunda integral:
integral0^1 a x , dx + integral0^1 b x^3 , dx = a cdot ( x^22 |0^1 ) + b cdot ( x^44 |0^1 ) = a2 + b4
Então, temos a segunda equação:
a2 + b4 = 35

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b3 = 1 a2 + b4 = 35
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos multiplicar a primeira equação por 3 para eliminar o denominador:
3a + b = 3
Já a segunda equação, multiplicando por 4 para simplificar:
2a + b = 125

Passo 7

Agora, temos:
3a + b = 3 2a + b = 125
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(3a + b) - (2a + b) = 3 - 125
Simplificando:
a = 35

Passo 8

Com o valor de 3 ( 35 ) + b = 3 95 + b = 3 b = 3 - 95 = 65 encontrado, substituímos em uma das equações para encontrar . Usando :

Resposta

Os valores são e .

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