As partículas são os principais componentes da poluição do ar em muitos locais. É de interesse o estudo da tamanho das partículas contaminantes. Seja
o diâmetro, em micrometros, de uma partícula escolhida aleatoriamente. Considere que em determinado local a função densidade de probabilidade é inversamente proporcional ao volume de partículas ou seja, considere que
onde
é uma constante.
a. Determine o valor de
de modo que
seja uma função densidade de probabilidade.
a. Determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de densidade de probabilidade para o diâmetro de partículas poluentes no ar. A função é dada por:
Nosso objetivo é encontrar o valor da constante
que faz essa função ser uma verdadeira função de densidade de probabilidade. Para isso, precisamos lembrar que a integral da função de densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição que a função
deve satisfazer para ser uma função de densidade de probabilidade:
Substituindo a função
na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral para encontrar
. Integrando
:
Aplicando os limites de integração de 1 a
:
Então, substituindo de volta na equação original:
Resposta
O valor de
é 2.