As partículas são os principais componentes da poluição do ar em muitos locais. É de interesse o estudo da tamanho das partículas contaminantes. Seja X o diâmetro, em micrometros, de uma partícula escolhida aleatoriamente. Considere que em determinado local a função densidade de probabilidade é inversamente proporcional ao volume de partículas ou seja, considere que
f(x)=cx^3 I(1, infty)(x)
onde c é uma constante.
a. Determine o valor de c de modo que f(x) seja uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de densidade de probabilidade para o diâmetro de partículas poluentes no ar. A função é dada por:
f(x) = cx^3 para x > 1
Nosso objetivo é encontrar o valor da constante que faz essa função ser uma verdadeira função de densidade de probabilidade. Para isso, precisamos lembrar que a integral da função de densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição que a função integral1^infty f(x) , dx = 1 deve satisfazer para ser uma função de densidade de probabilidade:
integral1^infty cx^3 , dx = 1
Substituindo a função na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral para encontrar integral 1x^3 , dx = integral x^-3 , dx = x^-2-2 + C = -12x^2 + C . Integrando [ -12x^2 ]1^infty = ( 0 - ( -12 cdot 1^2 ) ) = 12 :
c cdot 12 = 1
Aplicando os limites de integração de 1 a :
Então, substituindo de volta na equação original:

Resposta

O valor de é 2.

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