A vida útil de uma determinada lâmpada segue uma distribuição exponencial com média
dias. Assim que uma lâmpada se queima, ela é substituída por outra. Qual é a probabilidade de que, em um ano, sejam necessárias mais de 25 lâmpadas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou fala sobre a vida útil de uma lâmpada que segue uma distribuição exponencial com média
dias. A pergunta quer saber qual a probabilidade de, em um ano (365 dias), precisarmos de mais de 25 lâmpadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição exponencial e ao processo de Poisson.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo que ocorre de forma contínua e independente, como a queima de lâmpadas. A média dessa distribuição é
dias, então a taxa de ocorrência, denotada por
, é o inverso da média:
Passo 3
Agora, vamos considerar o período de um ano, que tem 365 dias. Queremos saber a probabilidade de que mais de 25 lâmpadas sejam necessárias nesse período. Isso se traduz em calcular a probabilidade de que ocorram mais de 25 quebras de lâmpadas em 365 dias.
Passo 4
Para isso, usamos o processo de Poisson, que nos permite calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecerem em um intervalo de tempo fixo, dado que os eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente.
A função de probabilidade de Poisson é dada por:
onde:
-
é o número de eventos, -
é a taxa de ocorrência, -
é o tempo.
Passo 5
Primeiro, calculamos o parâmetro da distribuição de Poisson, que é
:
Passo 6
Queremos a probabilidade de mais de 25 lâmpadas, ou seja,
. Usamos a complementariedade:
Então, precisamos calcular a soma das probabilidades de ocorrerem de 0 até 25 quebras de lâmpadas.
Passo 7
Calculando:
Esse cálculo pode ser feito usando uma calculadora científica ou software estatístico.
Passo 8
Após calcular a soma, subtraímos de 1 para obter a probabilidade desejada:
Resposta
A probabilidade de, em um ano, serem necessárias mais de 25 lâmpadas é aproximadamente 0,034 ou 3,4%.