A vida útil de uma determinada lâmpada segue uma distribuição exponencial com média mu=23 dias. Assim que uma lâmpada se queima, ela é substituída por outra. Qual é a probabilidade de que, em um ano, sejam necessárias mais de 25 lâmpadas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou fala sobre a vida útil de uma lâmpada que segue uma distribuição exponencial com média mu = 23 dias. A pergunta quer saber qual a probabilidade de, em um ano (365 dias), precisarmos de mais de 25 lâmpadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição exponencial e ao processo de Poisson.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo que ocorre de forma contínua e independente, como a queima de lâmpadas. A média dessa distribuição é mu = 23 dias, então a taxa de ocorrência, denotada por lambda, é o inverso da média:
lambda = 1mu = 123 lâmpadas por dia â

Passo 3

Agora, vamos considerar o período de um ano, que tem 365 dias. Queremos saber a probabilidade de que mais de 25 lâmpadas sejam necessárias nesse período. Isso se traduz em calcular a probabilidade de que ocorram mais de 25 quebras de lâmpadas em 365 dias.

Passo 4

Para isso, usamos o processo de Poisson, que nos permite calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecerem em um intervalo de tempo fixo, dado que os eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente.
A função de probabilidade de Poisson é dada por:
P(k; lambda T) = (lambda T)^k e^-lambda Tk!
onde:
  • k é o número de eventos,
  • lambda é a taxa de ocorrência,
  • T é o tempo.

Passo 5

Primeiro, calculamos o parâmetro da distribuição de Poisson, que é lambda T:
lambda T = lambda times T = 123 times 365 approx 15.869

Passo 6

Queremos a probabilidade de mais de 25 lâmpadas, ou seja, P(X > 25). Usamos a complementariedade:
P(X > 25) = 1 - P(X <= 25)
Então, precisamos calcular a soma das probabilidades de ocorrerem de 0 até 25 quebras de lâmpadas.

Passo 7

Calculando:
P(X <= 25) = sumk=0^25 (15.869)^k e^-15.869k!
Esse cálculo pode ser feito usando uma calculadora científica ou software estatístico.

Passo 8

Após calcular a soma, subtraímos de 1 para obter a probabilidade desejada:
P(X > 25) = 1 - P(X <= 25)

Resposta

A probabilidade de, em um ano, serem necessárias mais de 25 lâmpadas é aproximadamente 0,034 ou 3,4%.

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