Uma loja recebe em média 16 clientes por dia com desvio padrão de 4 clientes. Calcule aproximadamente a probabilidade de num período de 30 dias a loja receber mais do que 500 clientes. Calcule também a probabilidade aproximada de nesse mesmo período a média de clientes ultrapassar a 18 clientes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo o número de clientes que uma loja recebe. A loja, em média, recebe 16 clientes por dia, com um desvio padrão de 4 clientes. Precisamos calcular duas coisas:
- Probabilidade de, em 30 dias, a loja receber mais de 500 clientes.
- Probabilidade de, nesse mesmo período, a média de clientes por dia ultrapassar 18.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e o Teorema Central do Limite, que nos ajudam a entender como os dados se comportam quando temos uma grande quantidade de observações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o total de clientes que a loja espera receber em 30 dias. Se a média é de 16 clientes por dia, em 30 dias a média total seria:
O desvio padrão total para 30 dias é dado por:
Passo 3
Agora, queremos saber a probabilidade de receber mais de 500 clientes em 30 dias. Para isso, usamos a fórmula da Distribuição Normal Padronizada:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos (500 clientes),
- $ \mu $ é a média (480 clientes),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (21,908 clientes).
Substituindo:
Passo 4
Com o valor de $ Z $ calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente na tabela da Distribuição Normal. Um $ Z $ de 0,913 significa que estamos buscando a área à direita desse valor.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que a probabilidade de $ Z > 0,913 $ é aproximadamente 0,180.
Passo 5
Portanto, a probabilidade de, em 30 dias, a loja receber mais de 500 clientes é de cerca de 18%.
Passo 6
Agora, vamos calcular a probabilidade de a média diária de clientes ultrapassar 18 em 30 dias.
A média esperada é 16 clientes por dia, e o desvio padrão da média ($ \sigma_{\bar{x}} $) é:
Passo 7
Usando novamente a fórmula da Distribuição Normal Padronizada:
Passo 8
Consultando a tabela da Distribuição Normal para $ Z = 2,740 $, encontramos que a probabilidade de $ Z > 2,740 $ é aproximadamente 0,0032, ou seja, 0,32%.
Resposta
A probabilidade de, em 30 dias, a loja receber mais de 500 clientes é de aproximadamente 18%, e a probabilidade de que a média diária de clientes ultrapasse 18 é de cerca de 0,32%.