Uma loja recebe em média 16 clientes por dia com desvio padrão de 4 clientes. Calcule aproximadamente a probabilidade de num período de 30 dias a loja receber mais do que 500 clientes. Calcule também a probabilidade aproximada de nesse mesmo período a média de clientes ultrapassar a 18 clientes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo o número de clientes que uma loja recebe. A loja, em média, recebe 16 clientes por dia, com um desvio padrão de 4 clientes. Precisamos calcular duas coisas:
  1. Probabilidade de, em 30 dias, a loja receber mais de 500 clientes.
  2. Probabilidade de, nesse mesmo período, a média de clientes por dia ultrapassar 18.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e o Teorema Central do Limite, que nos ajudam a entender como os dados se comportam quando temos uma grande quantidade de observações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de clientes que a loja espera receber em 30 dias. Se a média é de 16 clientes por dia, em 30 dias a média total seria:
mutotal = 16 clientes/dia times 30 dias = 480 clientes
O desvio padrão total para 30 dias é dado por:
sigmatotal = 4 clientes/dia times raiz30 approx 4 times 5,477 = 21,908 clientes

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de receber mais de 500 clientes em 30 dias. Para isso, usamos a fórmula da Distribuição Normal Padronizada:
Z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos (500 clientes),
  • $ \mu $ é a média (480 clientes),
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (21,908 clientes).
Substituindo:
X

Passo 4

Com o valor de $ Z $ calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente na tabela da Distribuição Normal. Um $ Z $ de 0,913 significa que estamos buscando a área à direita desse valor.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que a probabilidade de $ Z > 0,913 $ é aproximadamente 0,180.

Passo 5

Portanto, a probabilidade de, em 30 dias, a loja receber mais de 500 clientes é de cerca de 18%.

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade de a média diária de clientes ultrapassar 18 em 30 dias.
A média esperada é 16 clientes por dia, e o desvio padrão da média ($ \sigma_{\bar{x}} $) é:
sigmabarx

Passo 7

Usando novamente a fórmula da Distribuição Normal Padronizada:
Z = barX - musigmabarx = 18 - 160,730 approx 20,730 approx 2,740

Passo 8

Consultando a tabela da Distribuição Normal para $ Z = 2,740 $, encontramos que a probabilidade de $ Z > 2,740 $ é aproximadamente 0,0032, ou seja, 0,32%.

Resposta

A probabilidade de, em 30 dias, a loja receber mais de 500 clientes é de aproximadamente 18%, e a probabilidade de que a média diária de clientes ultrapasse 18 é de cerca de 0,32%.

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