A função densidade de probabilidade do tempo (em horas). de falha de um componente eletrônico de uma máquina é de , para . Determine a probabilidade de que:
Um componente falhe antes de 1000 horas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função densidade de probabilidade que descreve o tempo até a falha de um componente eletrônico, onde é o tempo em horas. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de que o componente falhe antes de 1000 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade e Distribuições de Probabilidade Contínuas.
Passo 2
Sabemos que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) nos dá a probabilidade de que a variável aleatória tome um valor específico. Para encontrar a probabilidade de estar em um intervalo, precisamos calcular a função de distribuição acumulada (f.d.a.), que é a integral da f.d.p. de 0 até o ponto de interesse. Neste caso, queremos .
Passo 3
Vamos calcular a f.d.a. para . A f.d.a. é dada por:
Substituindo pela função dada:
Passo 4
Simplificando a integral:
Fatoramos a constante para facilitar a integração.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 0 a 1000:
Simplificando os termos:
Passo 7
Continuando a simplificação:
Passo 8
Calculando o valor numérico de :
Portanto:
Resposta
A probabilidade de que o componente falhe antes de 1000 horas é aproximadamente 86,47%.