A função densidade de probabilidade do tempo (em horas). de falha de um componente eletrônico de uma máquina é de f(x)=2 e^-2 x / 10001000, para x>0. Determine a probabilidade de que:
Um componente falhe antes de 1000 horas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função densidade de probabilidade que descreve o tempo até a falha de um componente eletrônico, onde é o tempo em horas. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de que o componente falhe antes de 1000 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade e Distribuições de Probabilidade Contínuas.

Passo 2

Sabemos que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) nos dá a probabilidade de que a variável aleatória tome um valor específico. Para encontrar a probabilidade de estar em um intervalo, precisamos calcular a função de distribuição acumulada (f.d.a.), que é a integral da f.d.p. de 0 até o ponto de interesse. Neste caso, queremos .

Passo 3

Vamos calcular a f.d.a. F(x) = integral0^x f(t) , dt para F(1000) = integral0^1000 2 e^-2t / 10001000 , dt . A f.d.a. é dada por:
Substituindo pela função dada:

Passo 4

Simplificando a integral:
F(1000) = 21000 integral0^1000 e^-2t / 1000 , dt
Fatoramos a constante para facilitar a integração.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral e^-2t / 1000 , dt = -10002 e^-2t / 1000 + C = -500 e^-2t / 1000 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a 1000:
F(1000) = 21000 [ -500 e^-2(1000) / 1000 + 500 e^-2(0) / 1000 ]
Simplificando os termos:
F(1000) = 21000 [ -500 e^-2 + 500 cdot 1 ]

Passo 7

Continuando a simplificação:
F(1000) = 21000 [ 500 (1 - e^-2) ] = 2 cdot 5001000 (1 - e^-2) = 1 cdot (1 - e^-2)

Passo 8

Calculando o valor numérico de e^-2 approx 0,1353 :
F(1000) = 1 - 0,1353 = 0,8647
Portanto:

Resposta

A probabilidade de que o componente falhe antes de 1000 horas é aproximadamente 86,47%.

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