A função densidade de probabilidade do tempo (em horas). de falha de um componente eletrônico de uma máquina é de , para . Determine a probabilidade de que:
Um componente falhe antes de 1000 horas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função densidade de probabilidade que descreve o tempo até a falha de um componente eletrônico, onde é o tempo em horas. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de que o componente falhe antes de 1000 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade e Distribuições de Probabilidade Contínuas.

Passo 2

Sabemos que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) nos dá a probabilidade de que a variável aleatória tome um valor específico. Para encontrar a probabilidade de estar em um intervalo, precisamos calcular a função de distribuição acumulada (f.d.a.), que é a integral da f.d.p. de 0 até o ponto de interesse. Neste caso, queremos .

Passo 3

Vamos calcular a f.d.a. para . A f.d.a. é dada por:
Substituindo pela função dada:

Passo 4

Simplificando a integral:
Fatoramos a constante para facilitar a integração.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a 1000:
Simplificando os termos:

Passo 7

Continuando a simplificação:

Passo 8

Calculando o valor numérico de :
Portanto:

Resposta

A probabilidade de que o componente falhe antes de 1000 horas é aproximadamente 86,47%.

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