Suponha que f(x)=e^-x, para x>0. Determine as seguintes probabilidades:
P(X<4)

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função f(x) = e^-x para x > 0 e precisa descobrir a probabilidade de X ser menor que 4, ou seja, P(X < 4). Isso está ligado à teoria das distribuições de probabilidade, especificamente à distribuição exponencial. Vamos usar alguns conceitos básicos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que f(x) = e^-x é a função densidade de probabilidade da distribuição exponencial com parâmetro lambda = 1. A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo que ocorre de forma contínua e independente.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade P(X < 4), precisamos calcular a função de distribuição acumulada (CDF), que é a probabilidade de X ser menor ou igual a um certo valor. A CDF para a distribuição exponencial é dada por:
P(X < x) = 1 - e^-lambda x

Passo 4

Como nosso lambda é igual a 1, substituímos na fórmula:
P(X < 4) = 1 - e^-1 cdot 4 = 1 - e^-4

Resposta

A probabilidade de X ser menor que 4 é:
P(X < 4) = 1 - e^-4 approx 0,9817

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