A função densidade de probabilidade para uma variável aleatória X é fornecida abaixo. Calcule a esperança e a variância dessa variável aleatória.
d)
X F(X)
-5000 0,10
0,000 0,60
3000 0,30

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a esperança (ou valor esperado) e a variância de uma variável aleatória . A tabela que a gente tem mostra os possíveis valores que pode assumir e suas respectivas probabilidades. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente as fórmulas para esperança e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a esperança E[X] = sumi xi cdot P(xi) . A esperança é como uma média ponderada dos valores que pode assumir, considerando suas probabilidades. A fórmula para a esperança é:
Onde são os valores possíveis de e são as probabilidades correspondentes.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com os valores da tabela:
E[X] = (-5000) cdot 0,10 + 0 cdot 0,60 + 3000 cdot 0,30
Fazendo as contas:
E[X] = (-5000 times 0,10) + (0 times 0,60) + (3000 times 0,30) = (-500) + 0 + 900 = 400
Então, a esperança de é 400.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 . A variância mede o quanto os valores de E[X^2] = sumi xi^2 cdot P(xi) se espalham em torno da esperança. A fórmula da variância é:
Primeiro, precisamos calcular , que é a esperança do quadrado de :

Passo 5

Vamos calcular E[X^2] = (-5000)^2 cdot 0,10 + (0)^2 cdot 0,60 + (3000)^2 cdot 0,30 com os valores da tabela:
E[X^2] = 25,000,000 times 0,10 + 0 times 0,60 + 9,000,000 times 0,30 = 2,500,000 + 0 + 2,700,000 = 5,200,000
Fazendo as contas:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da variância:
Var(X) = 5,200,000 - (400)^2 = 5,200,000 - 160,000 = 5,040,000

Resposta

A esperança de é 400 e a variância de é 5,040,000.

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