Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função densidade de uma variável aleatória e pede para encontrarmos uma função que tenha uma determinada função densidade . Estamos lidando com teoria das variáveis aleatórias contínuas e transformações de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar uma variável aleatória em outra e como isso afeta suas funções de densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função densidade de é dada por:
E queremos que a variável tenha a função densidade:
Para encontrar , precisamos entender como a transformação afeta a função densidade.
Passo 3
Sabemos que, se é uma transformação diferenciável e monotônica de , a função densidade de pode ser encontrada usando:
Aqui, é a função inversa de . Nosso objetivo é encontrar que satisfaça essa equação para as funções densidades dadas.
Passo 4
Vamos assumir que seja uma função do tipo potência, ou seja, , onde é um número real a ser determinado. Vamos encontrar tal que a função densidade resultante coincida com a dada.
Primeiro, encontraremos a função inversa de :
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Em módulo, isso fica:
Passo 5
Agora, substituímos na função densidade :
Multiplicando pela derivada encontrada:
Queremos que isso seja igual a:
Então, igualamos as duas expressões:
Passo 6
Vamos comparar os expoentes e os coeficientes de ambas as expressões.
Primeiro, observamos os coeficientes:
Agora, vamos verificar os expoentes. Com :
Então, a expressão fica:
Que coincide exatamente com a função densidade desejada.
Resposta
A função que leva à variável aleatória com a função densidade desejada é: