A função densidade de uma variável aleatória X é:
f(x)= 6 x(1-x), & 0á
Encontre a função Y=H(X) que tem a função densidade:
g(y)= 12 y^3(1-y^2), & 0á

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função densidade de uma variável aleatória e pede para encontrarmos uma função que tenha uma determinada função densidade . Estamos lidando com teoria das variáveis aleatórias contínuas e transformações de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar uma variável aleatória em outra e como isso afeta suas funções de densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função densidade fX(x) = 6 x(1-x), & 0 < x < 1 0, & caso contrário de g(y) = 12 y^3(1-y^2), & 0 < y < 1 0, & caso contrário é dada por:
á
E queremos que a variável tenha a função densidade:
á
Para encontrar , precisamos entender como a transformação afeta a função densidade.

Passo 3

Sabemos que, se g(y) = fX(H^-1(y)) cdot | ddy H^-1(y) | é uma transformação diferenciável e monotônica de , a função densidade de pode ser encontrada usando:
Aqui, é a função inversa de . Nosso objetivo é encontrar que satisfaça essa equação para as funções densidades dadas.

Passo 4

Vamos assumir que X = Y^1/k seja uma função do tipo potência, ou seja, dXdY = 1k Y^(1/k) - 1 , onde | dXdY | = 1k Y^(1/k) - 1 é um número real a ser determinado. Vamos encontrar tal que a função densidade resultante coincida com a dada.
Primeiro, encontraremos a função inversa de :
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Em módulo, isso fica:

Passo 5

Agora, substituímos fX(Y^1/k) = 6 Y^1/k (1 - Y^1/k) na função densidade g(y) = 6 Y^1/k (1 - Y^1/k) cdot 1k Y^(1/k) - 1 = 6k Y^2/k - 1 (1 - Y^1/k) :
g(y) = 12 y^3(1 - y^2)
Multiplicando pela derivada encontrada:
6k Y^2/k - 1 (1 - Y^1/k) = 12 Y^3 (1 - Y^2)
Queremos que isso seja igual a:
Então, igualamos as duas expressões:

Passo 6

Vamos comparar os expoentes e os coeficientes de ambas as expressões.
Primeiro, observamos os coeficientes:
6k = 12 implies k = 612 = 12
Agora, vamos verificar os expoentes. Com 2/k - 1 = 2 / (1/2) - 1 = 4 - 1 = 3 e 1/k = 2 :
612 Y^3 (1 - Y^2) = 12 Y^3 (1 - Y^2)
Então, a expressão fica:
Que coincide exatamente com a função densidade desejada.

Resposta

A função H(X) = raizX que leva à variável aleatória com a função densidade desejada é:

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