Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função densidade de uma variável aleatória e pede para encontrarmos uma função que tenha uma determinada função densidade . Estamos lidando com teoria das variáveis aleatórias contínuas e transformações de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar uma variável aleatória em outra e como isso afeta suas funções de densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função densidade de é dada por:
E queremos que a variável tenha a função densidade:
Para encontrar , precisamos entender como a transformação afeta a função densidade.
Passo 3
Sabemos que, se é uma transformação diferenciável e monotônica de , a função densidade de pode ser encontrada usando:
Aqui, é a função inversa de . Nosso objetivo é encontrar que satisfaça essa equação para as funções densidades dadas.
Passo 4
Vamos assumir que X = Y^1/k seja uma função do tipo potência, ou seja, dXdY = 1k Y^(1/k) - 1 , onde | dXdY | = 1k Y^(1/k) - 1 é um número real a ser determinado. Vamos encontrar tal que a função densidade resultante coincida com a dada.