Seja N um número inteiro positivo e seja
f(x)= c cdot 2^x, & x=1,2, ldots, N 0, & caso contrário á
Determine o valor de c para o qual f é uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no problema. Temos uma função que depende de um número inteiro positivo . A função está definida de duas maneiras: para , ela é igual a , e é zero em outros casos. Queremos descobrir qual deve ser o valor de para que seja uma função densidade de probabilidade. Isso envolve conceitos de probabilidade e somatórios, então vamos precisar entender como normalizar a função para que a soma total das probabilidades seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função densidade de probabilidade. Para uma função discreta, como essa, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Ou seja:
sumx=1^N f(x) = 1

Passo 3

Substituindo a definição de sumx=1^N c cdot 2^x = 1 na soma, temos:
Aqui, é uma constante que queremos encontrar.

Passo 4

Podemos fatorar o c cdot sumx=1^N 2^x = 1 da soma, já que ele é constante:
Agora, precisamos calcular a soma .

Passo 5

A soma sumx=1^N 2^x = 2 cdot 2^N - 12 - 1 = 2^N+1 - 2 é uma progressão geométrica onde cada termo é o dobro do anterior. Sabemos que a soma de uma progressão geométrica finita é dada por:

Passo 6

Substituindo a soma de volta na equação original:
c cdot (2^N+1 - 2) = 1
Para encontrar , basta isolar a variável.

Passo 7

Isolando c = 12^N+1 - 2 :
c = 12(2^N - 1) = 12^N+1 - 2
Podemos simplificar um pouco mais:

Resposta

O valor de c = 12^N+1 - 2 que torna uma função densidade de probabilidade é:

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