Seja
um número inteiro positivo e seja
Determine o valor de
para o qual
é uma função densidade de probabilidade.
Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada no problema. Temos uma função
que depende de um número inteiro positivo
. A função está definida de duas maneiras: para
, ela é igual a
, e é zero em outros casos. Queremos descobrir qual deve ser o valor de
para que
seja uma função densidade de probabilidade. Isso envolve conceitos de probabilidade e somatórios, então vamos precisar entender como normalizar a função para que a soma total das probabilidades seja 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função densidade de probabilidade. Para uma função discreta, como essa, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Ou seja:
Passo 3
Substituindo a definição de
na soma, temos:
Aqui,
é uma constante que queremos encontrar.
Passo 4
Podemos fatorar o
da soma, já que ele é constante:
Agora, precisamos calcular a soma
.
Passo 5
A soma
é uma progressão geométrica onde cada termo é o dobro do anterior. Sabemos que a soma de uma progressão geométrica finita é dada por:
Passo 6
Substituindo a soma de volta na equação original:
Para encontrar
, basta isolar a variável.
Passo 7
Isolando
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Resposta
O valor de
que torna
uma função densidade de probabilidade é: