Seja um número inteiro positivo e seja
á
Determine o valor de para o qual é uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no problema. Temos uma função que depende de um número inteiro positivo . A função está definida de duas maneiras: para , ela é igual a , e é zero em outros casos. Queremos descobrir qual deve ser o valor de para que seja uma função densidade de probabilidade. Isso envolve conceitos de probabilidade e somatórios, então vamos precisar entender como normalizar a função para que a soma total das probabilidades seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função densidade de probabilidade. Para uma função discreta, como essa, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Ou seja:

Passo 3

Substituindo a definição de na soma, temos:
Aqui, é uma constante que queremos encontrar.

Passo 4

Podemos fatorar o da soma, já que ele é constante:
Agora, precisamos calcular a soma .

Passo 5

A soma é uma progressão geométrica onde cada termo é o dobro do anterior. Sabemos que a soma de uma progressão geométrica finita é dada por:

Passo 6

Substituindo a soma de volta na equação original:
Para encontrar , basta isolar a variável.

Passo 7

Isolando :
Podemos simplificar um pouco mais:

Resposta

O valor de que torna uma função densidade de probabilidade é:

Exercícios relacionados

A função densidade de uma variável aleatória é:
á
Encontre a função que tem a função densidade:
á
A função densidade de uma variável aleatória é:
á
(a) Encontre a função densidade para a variável aleatória .
Suponha que um par de dados honestos vai ser lançado e considere a variável aleatória

: soma dos pontos

(a) Obtenha a função da probabilidade de .
A função de distribuição para uma variável aleatória é:
(a) Encontre a função densidade.