A função de probabilidade de uma variável aleatória X é:
p(x)= 2^-x, & x=1,2,3, ldots 0, & caso contrário á
(a) Encontre a função de probabilidade para a variável aleatória Y=X^4+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função de probabilidade da variável aleatória , onde já sabemos a função de probabilidade de . Estamos trabalhando com variáveis aleatórias discretas e transformações de variáveis aleatórias. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a função de probabilidade de para obter a de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os possíveis valores que pode assumir com base nos valores de . Sabemos que pode ser 1, 2, 3, e assim por diante. Então, vamos calcular para esses valores:
  • Se , então
  • Se , então
  • Se , então
  • E assim por diante…

Passo 3

Agora que sabemos os valores que pode assumir, vamos encontrar a probabilidade de cada um desses valores. A função de probabilidade de é dada por para . Isso significa que:
  • E assim por diante…

Passo 4

Para cada valor de , que corresponde a um valor específico de , a probabilidade será igual a onde . Então, podemos associar cada ao seu respectivo e usar a função de probabilidade de para encontrar .

Passo 5

Vamos resumir isso em uma nova função de probabilidade para pY(y) = 2^-x, & se y = x^4 + 1 para x = 1, 2, 3, ldots 0, & caso contrário :
á
Isso significa que para cada valor específico de , que é calculado a partir de , a probabilidade correspondente é .

Resposta

A função de probabilidade para a variável aleatória pY(y) = 2^-x, & se y = x^4 + 1 para x = 1, 2, 3, ldots 0, & caso contrário é:
á

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