(a) Encontre a função densidade para a variável aleatória .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade para uma variável aleatória :
E a gente precisa encontrar a função densidade para a nova variável aleatória . Para isso, vamos usar conceitos de transformação de variáveis em estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa transformar a variável em . A transformação que temos aqui é uma combinação linear: , onde e .
Essa transformação vai alterar tanto a posição quanto a escala da distribuição original de .
Passo 3
Para encontrar a função densidade de , usamos a fórmula de transformação de variáveis. Quando , a densidade de é dada por:
Aqui, é a função densidade original de , é o coeficiente que multiplica , e é o termo constante.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos:
Então,
Simplificando dentro da função :
Então,
Passo 5
Agora, precisamos substituir na função densidade original :
á
Substituindo :
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos determinar o intervalo de onde é diferente de zero. Sabemos que é não-zero para . Vamos encontrar os valores de que correspondem a esse intervalo.