A função densidade de uma variável aleatória é:
á
(a) Encontre a função densidade para a variável aleatória .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade para uma variável aleatória :
á
E a gente precisa encontrar a função densidade para a nova variável aleatória . Para isso, vamos usar conceitos de transformação de variáveis em estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa transformar a variável em . A transformação que temos aqui é uma combinação linear: , onde e .
Essa transformação vai alterar tanto a posição quanto a escala da distribuição original de .

Passo 3

Para encontrar a função densidade de , usamos a fórmula de transformação de variáveis. Quando , a densidade de é dada por:
Aqui, é a função densidade original de , é o coeficiente que multiplica , e é o termo constante.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos:
Então,
Simplificando dentro da função :
Então,

Passo 5

Agora, precisamos substituir na função densidade original :
á
Substituindo :
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos determinar o intervalo de onde é diferente de zero. Sabemos que é não-zero para . Vamos encontrar os valores de que correspondem a esse intervalo.
Resolvendo as desigualdades:
Primeira parte:
Segunda parte:
Então, está entre 2 e 5.

Resposta

A função densidade de é:
á

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á
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á
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á
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á
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