(a) Encontre a função densidade para a variável aleatória .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade para uma variável aleatória :
E a gente precisa encontrar a função densidade para a nova variável aleatória . Para isso, vamos usar conceitos de transformação de variáveis em estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa transformar a variável em . A transformação que temos aqui é uma combinação linear: , onde e .
Essa transformação vai alterar tanto a posição quanto a escala da distribuição original de .
Passo 3
Para encontrar a função densidade de , usamos a fórmula de transformação de variáveis. Quando , a densidade de é dada por:
Aqui, é a função densidade original de , é o coeficiente que multiplica , e é o termo constante.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos:
Então,
Simplificando dentro da função :
Então,
Passo 5
Agora, precisamos substituir fX(x) = x^281, & -3 < x < 6 0, & caso contrário na função densidade original fY(y) = 3 cdot (-3y + 12)^281 :
fY(y) = 381 (-3y + 12)^2 = 127 (-3y + 12)^2 á
Substituindo :
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos determinar o intervalo de -3 < -3y + 12 < 6 onde -3 < -3y + 12 -15 < -3y 5 > y é diferente de zero. Sabemos que -3y + 12 < 6 -3y < -6 y > 2 é não-zero para . Vamos encontrar os valores de que correspondem a esse intervalo.
Resolvendo as desigualdades:
Primeira parte:
Segunda parte:
Então, está entre 2 e 5.
Resposta
A função densidade de fY(y) = 127 (-3y + 12)^2, & 2 < y < 5 0, & caso contrário é: