(b) Encontre a função densidade para a variável aleatória .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função densidade para uma variável aleatória , que é no intervalo de a , e zero fora desse intervalo. O exercício quer que a gente encontre a função densidade para uma nova variável aleatória . Para isso, vamos precisar entender como transformar a função densidade de para usando conceitos de probabilidade e cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o intervalo de . Já que , e vai de a , vai de (quando ) até (quando ).
Passo 3
Agora, para encontrar a função densidade de , , vamos usar a fórmula de transformação de variáveis. Quando , a função densidade de é dada por:
Nesse caso, , então .
Passo 4
Vamos resolver para em duas partes: quando está entre e , e quando está entre e .
Para :
pode ser tanto quanto , porque ambos os valores ao quadrado dão .
Então, a função densidade é:Como (porque ), simplificamos para:Substituindo :
Para :
só pode ser , já que seria menor que , que está fora do domínio de .