A função densidade de uma variável aleatória X é:
f(x)= x^281, & -3á
(b) Encontre a função densidade para a variável aleatória Y=X^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função densidade para uma variável aleatória , que é no intervalo de a , e zero fora desse intervalo. O exercício quer que a gente encontre a função densidade para uma nova variável aleatória . Para isso, vamos precisar entender como transformar a função densidade de para usando conceitos de probabilidade e cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o intervalo de . Já que , e vai de a , vai de (quando ) até (quando ).

Passo 3

Agora, para encontrar a função densidade de fY(y) = sum fX(x)|g'(x)| , , vamos usar a fórmula de transformação de variáveis. Quando , a função densidade de é dada por:
Nesse caso, , então .

Passo 4

Vamos resolver para fY(y) = fX(raizy)|2raizy| + fX(-raizy)|2(-raizy)| em duas partes: quando fY(y) = 2 cdot fX(raizy)2 raizy = fX(raizy)raizy está entre fY(y) = y81 raizy = raizy81 e fY(y) = fX(raizy)|2raizy| = y812 raizy = raizy162 , e quando está entre e .
  1. Para :
    • pode ser tanto quanto , porque ambos os valores ao quadrado dão .
    • Então, a função densidade é: Como (porque ), simplificamos para: Substituindo :
  2. Para :
    • só pode ser , já que seria menor que , que está fora do domínio de .
    • Então, a função densidade é:

Resposta

A função densidade para a variável aleatória fY(y) = raizy81, & 0 <= y <= 9 raizy162, & 9 < y <= 36 0, & caso contrário é:
á

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