A função densidade de uma variável aleatória
é:
(b) Encontre a função densidade para a variável aleatória
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função densidade para uma variável aleatória
, que é
no intervalo de
a
, e zero fora desse intervalo. O exercício quer que a gente encontre a função densidade para uma nova variável aleatória
. Para isso, vamos precisar entender como transformar a função densidade de
para
usando conceitos de probabilidade e cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o intervalo de
. Já que
, e
vai de
a
,
vai de
(quando
) até
(quando
).
Passo 3
Agora, para encontrar a função densidade de
,
, vamos usar a fórmula de transformação de variáveis. Quando
, a função densidade de
é dada por:
Nesse caso,
, então
.
Passo 4
Vamos resolver para
em duas partes: quando
está entre
e
, e quando está entre
e
.
-
Para
: -
pode ser tanto quanto , porque ambos os valores ao quadrado dão . - Então, a função densidade é:
Como (porque ), simplificamos para: Substituindo :
-
-
Para
: -
só pode ser , já que seria menor que , que está fora do domínio de . - Então, a função densidade é:
-
Resposta
A função densidade para a variável aleatória
é: