A função densidade de uma variável aleatória é:
á
(b) Encontre a função densidade para a variável aleatória .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função densidade para uma variável aleatória , que é no intervalo de a , e zero fora desse intervalo. O exercício quer que a gente encontre a função densidade para uma nova variável aleatória . Para isso, vamos precisar entender como transformar a função densidade de para usando conceitos de probabilidade e cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o intervalo de . Já que , e vai de a , vai de (quando ) até (quando ).

Passo 3

Agora, para encontrar a função densidade de , , vamos usar a fórmula de transformação de variáveis. Quando , a função densidade de é dada por:
Nesse caso, , então .

Passo 4

Vamos resolver para em duas partes: quando está entre e , e quando está entre e .
  1. Para :
    • pode ser tanto quanto , porque ambos os valores ao quadrado dão .
    • Então, a função densidade é: Como (porque ), simplificamos para: Substituindo :
  2. Para :
    • só pode ser , já que seria menor que , que está fora do domínio de .
    • Então, a função densidade é:

Resposta

A função densidade para a variável aleatória é:
á

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