Sabe-se que a vida, em horas, de uma bateria é normalmente distribuída com desvio-padrão
horas. Uma amostra aleatória de 16 baterias tem uma vida média de
horas.
© Qual será o erro
para o teste do item (a), se a média verdadeira for 40,7 horas?
© Qual será o erro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a vida útil de baterias, que é distribuída normalmente com um desvio-padrão de
horas. Pegamos uma amostra de 16 baterias com uma média de vida de
horas. No item ©, a gente quer descobrir o erro
para um teste de hipótese, assumindo que a média verdadeira é 40,7 horas. Para resolver isso, vamos precisar entender de estatística inferencial, especificamente testes de hipóteses e erros do tipo II (
).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o erro
. Em testes de hipótese, o erro
é a probabilidade de não rejeitarmos a hipótese nula (
) quando ela é falsa, ou seja, quando a média verdadeira é diferente do que estamos testando. No nosso caso, como queremos saber o erro
quando a média verdadeira é 40,7 horas, vamos assumir que estamos testando se a média é 40,5 horas (
) contra uma alternativa (
).
Passo 3
Para calcular o erro
, precisamos definir o nível de significância do teste, que geralmente é
(5%). Isso significa que temos uma margem de 5% para rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Com
, distribuído de forma simétrica, temos 2,5% de cada lado da distribuição.
Passo 4
Vamos calcular o valor crítico do teste usando a distribuição normal padrão. A fórmula para o valor crítico é:
Onde:
-
(média amostral) -
(média sob ) -
(desvio-padrão) -
(tamanho da amostra)
Mas, como estamos buscando os valores críticos para rejeitação, precisamos encontrar os valores de
que correspondem a
em cada cauda.
Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que o valor crítico
para 0,025 é aproximadamente 1,96.
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de rejeição:
Substituindo os valores:
Então, os limites de rejeição são aproximadamente [39,73; 41,27].
Passo 6
Agora, queremos calcular o erro
quando a verdadeira média é
horas. Isso significa que estamos assumindo que a média verdadeira é 40,7, mas queremos saber a probabilidade de ela cair dentro do intervalo de 39,73 a 41,27 horas, ou seja, de não rejeitar
.
Vamos calcular o
correspondente a 40,7:
Consultando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de
estar entre -1,96 e 1,96 é aproximadamente 0,6915.
Passo 7
Portanto, o erro
é a probabilidade de não rejeitar
quando a média verdadeira é 40,7:
Resposta
O erro
para o teste é de aproximadamente 69,15%.
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