Sabe-se que a vida, em horas, de uma bateria é normalmente distribuída com desvio-padrão sigma=1,57 horas. Uma amostra aleatória de 16 baterias tem uma vida média de barx=40,5 horas.
© Qual será o erro beta para o teste do item (a), se a média verdadeira for 40,7 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a vida útil de baterias, que é distribuída normalmente com um desvio-padrão de sigma = 1,57 horas. Pegamos uma amostra de 16 baterias com uma média de vida de barx = 40,5 horas. No item ©, a gente quer descobrir o erro beta para um teste de hipótese, assumindo que a média verdadeira é 40,7 horas. Para resolver isso, vamos precisar entender de estatística inferencial, especificamente testes de hipóteses e erros do tipo II ( beta).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o erro beta. Em testes de hipótese, o erro beta é a probabilidade de não rejeitarmos a hipótese nula ( H0) quando ela é falsa, ou seja, quando a média verdadeira é diferente do que estamos testando. No nosso caso, como queremos saber o erro beta quando a média verdadeira é 40,7 horas, vamos assumir que estamos testando se a média é 40,5 horas ( H0: mu = 40,5) contra uma alternativa ( H1: mu neq 40,5).

Passo 3

Para calcular o erro beta, precisamos definir o nível de significância do teste, que geralmente é alpha = 0,05 (5%). Isso significa que temos uma margem de 5% para rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Com alpha = 0,05, distribuído de forma simétrica, temos 2,5% de cada lado da distribuição.

Passo 4

Vamos calcular o valor crítico do teste usando a distribuição normal padrão. A fórmula para o valor crítico é:
z = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • barx = 40,5 (média amostral)
  • mu0 = 40,5 (média sob H0)
  • sigma = 1,57 (desvio-padrão)
  • n = 16 (tamanho da amostra)
Mas, como estamos buscando os valores críticos para rejeitação, precisamos encontrar os valores de z que correspondem a alpha/2 = 0,025 em cada cauda.
Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que o valor crítico zalpha/2 para 0,025 é aproximadamente 1,96.

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de rejeição:
barx = mu0 pm zalpha/2 times sigmaraizn
Substituindo os valores:
40,5 pm 1,96 times 1,57raiz16 40,5 pm 1,96 times 0,3925 40,5 pm 0,7701
Então, os limites de rejeição são aproximadamente [39,73; 41,27].

Passo 6

Agora, queremos calcular o erro beta quando a verdadeira média é mu = 40,7 horas. Isso significa que estamos assumindo que a média verdadeira é 40,7, mas queremos saber a probabilidade de ela cair dentro do intervalo de 39,73 a 41,27 horas, ou seja, de não rejeitar H0.
Vamos calcular o z correspondente a 40,7:
z = 40,7 - 40,51,57raiz16 z = 0,20,3925 z approx 0,51
Consultando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de z estar entre -1,96 e 1,96 é aproximadamente 0,6915.

Passo 7

Portanto, o erro beta é a probabilidade de não rejeitar H0 quando a média verdadeira é 40,7:
beta approx 0,6915 beta approx 69,15%

Resposta

O erro beta para o teste é de aproximadamente 69,15%.

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