Sabe-se que a vida, em horas, de uma bateria é normalmente distribuída com desvio-padrão horas. Uma amostra aleatória de 16 baterias tem uma vida média de horas.
© Qual será o erro para o teste do item (a), se a média verdadeira for 40,7 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a vida útil de baterias, que é distribuída normalmente com um desvio-padrão de horas. Pegamos uma amostra de 16 baterias com uma média de vida de horas. No item ©, a gente quer descobrir o erro para um teste de hipótese, assumindo que a média verdadeira é 40,7 horas. Para resolver isso, vamos precisar entender de estatística inferencial, especificamente testes de hipóteses e erros do tipo II ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o erro . Em testes de hipótese, o erro é a probabilidade de não rejeitarmos a hipótese nula ( ) quando ela é falsa, ou seja, quando a média verdadeira é diferente do que estamos testando. No nosso caso, como queremos saber o erro quando a média verdadeira é 40,7 horas, vamos assumir que estamos testando se a média é 40,5 horas ( ) contra uma alternativa ( ).

Passo 3

Para calcular o erro , precisamos definir o nível de significância do teste, que geralmente é (5%). Isso significa que temos uma margem de 5% para rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Com , distribuído de forma simétrica, temos 2,5% de cada lado da distribuição.

Passo 4

Vamos calcular o valor crítico do teste usando a distribuição normal padrão. A fórmula para o valor crítico é:
Onde:
  • (média amostral)
  • (média sob )
  • (desvio-padrão)
  • (tamanho da amostra)
Mas, como estamos buscando os valores críticos para rejeitação, precisamos encontrar os valores de que correspondem a em cada cauda.
Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que o valor crítico para 0,025 é aproximadamente 1,96.

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de rejeição:
Substituindo os valores:
Então, os limites de rejeição são aproximadamente [39,73; 41,27].

Passo 6

Agora, queremos calcular o erro quando a verdadeira média é horas. Isso significa que estamos assumindo que a média verdadeira é 40,7, mas queremos saber a probabilidade de ela cair dentro do intervalo de 39,73 a 41,27 horas, ou seja, de não rejeitar .
Vamos calcular o correspondente a 40,7:
Consultando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de estar entre -1,96 e 1,96 é aproximadamente 0,6915.

Passo 7

Portanto, o erro é a probabilidade de não rejeitar quando a média verdadeira é 40,7:

Resposta

O erro para o teste é de aproximadamente 69,15%.

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