A função de distribuição para uma variável aleatória X é:
FX(x)= 1-e^-2 x, & x >= 0 0, & x<0
(a) Encontre a função densidade.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão nos dá a função de distribuição acumulada (Função de Distribuição) para uma variável aleatória . Nosso objetivo é encontrar a função densidade dessa variável. Para isso, vamos precisar entender como passar da função de distribuição para a função densidade utilizando cálculo, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, é importante entender que a função de distribuição acumulada nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um valor . Já a função densidade nos dá a densidade de probabilidade em cada ponto . Para passar de para , usamos a derivada da função de distribuição.

Passo 3

Vamos derivar FX(x)= 1 - e^-2x, & x >= 0 0, & x < 0 em relação a fX(x) = ddx (1 - e^-2x) = 0 - (-2)e^-2x = 2 e^-2x para encontrar fX(x) = 0 . A função de distribuição dada é:
Para :
Para :
A função de distribuição é constante (0), então sua derivada é 0:

Resposta

A função densidade é:
fX(x)= 2 e^-2x, & x >= 0 0, & x < 0

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