Se
uma função com derivada contínua em
. Pode ser provado, pelo teorema do valor médio, que o comprimento
da curva
é dado por
Com base nestas informações, calcule o comprimento da curva
, entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva da função
entre
e
. Para isso, vamos usar o teorema do valor médio aplicado ao comprimento de uma curva. O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, mais especificamente o cálculo de integrais para encontrar o comprimento de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a derivada da função
. A derivada é essencial porque ela vai entrar na fórmula que vamos usar para calcular o comprimento.
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva:
Aqui,
e
. Substituindo
na fórmula, temos:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A integral de
é uma integral padrão que pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou hiperbológica. A antiderivada é:
Mas, para simplificar, podemos usar a forma logarítmica:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Vamos calcular para
:
E para
:
Passo 6
Subtraindo os valores:
Resposta
O comprimento da curva
entre
e
é: