Se f uma função com derivada contínua em [a, b]. Pode ser provado, pelo teorema do valor médio, que o comprimento L da curva y=f(x) é dado por
L=integrala^b raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
Com base nestas informações, calcule o comprimento da curva y=x^22, entre x=0 e x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva da função entre e . Para isso, vamos usar o teorema do valor médio aplicado ao comprimento de uma curva. O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, mais especificamente o cálculo de integrais para encontrar o comprimento de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a derivada da função f'(x) = ddx(x^22) = x . A derivada é essencial porque ela vai entrar na fórmula que vamos usar para calcular o comprimento.
Então, .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva:
L = integrala^b raiz1 + [f'(x)]^2 , dx
Aqui, L = integral0^1 raiz1 + x^2 , dx e . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de integral raiz1 + x^2 , dx = x2 raiz1 + x^2 + 12 sinh^-1(x) + C é uma integral padrão que pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou hiperbológica. A antiderivada é:
integral raiz1 + x^2 , dx = x2 raiz1 + x^2 + 12 ln(x + raiz1 + x^2) + C
Mas, para simplificar, podemos usar a forma logarítmica:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
L = [ x2 raiz1 + x^2 + 12 ln(x + raiz1 + x^2) ]0^1
Vamos calcular para 12 raiz1 + 1^2 + 12 ln(1 + raiz2) = raiz22 + 12 ln(1 + raiz2) :
02 raiz1 + 0^2 + 12 ln(0 + raiz1) = 0 + 12 ln(1) = 0
E para :

Passo 6

Subtraindo os valores:
L = ( raiz22 + 12 ln(1 + raiz2) ) - 0 = raiz22 + 12 ln(1 + raiz2)

Resposta

O comprimento da curva L = raiz22 + 12 ln(1 + raiz2) entre e é:

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