Seja f contínua em [a, b], com f(x) >= 0 em [a, b]. Denote por A a região do plano limitado pelas retas x=a, x=b, pelo eixo x e pelo gráfico de y=f(x). O volume V do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A, é dado por
V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
Calcule V nas seguintes situações:
(a) A=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= 2, 1x <= y <= x.
(b) A=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, raizx <= y <= 3.
© A=(x, y) in R^2 ; x^2+(y-2)^2 <= 1.

Passo 1

Então, vamos começar com a parte (a) do exercício. A gente tem a região A = (x, y) in R^2 ; , 1 <= x <= 2, , 1x <= y <= x definida por:
V = integrala^b pi [f(x)]^2 , dx
Isso significa que varia entre 1 e 2, e para cada nesse intervalo, vai de até . O que precisamos fazer é encontrar o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo usando a fórmula:
Vamos precisar identificar a função que representa a borda superior da região .

Passo 2

Na região dada, a borda superior é . Então, . Os limites de integração são e .

Passo 3

Substituindo na fórmula do volume:
V = integral1^2 pi [x]^2 , dx = pi integral1^2 x^2 , dx
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 4

Integrando integral x^2 , dx = x^33 + C em relação a V = pi [ 2^33 - 1^33 ] = pi ( 83 - 13 ) = pi ( 73 ) = 7pi3 :
Aplicando os limites de 1 a 2:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). A região A = (x, y) in R^2 ; , 0 <= x <= 1, , raizx <= y <= 3 está definida por:
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada , vai de até 3. Precisamos achar o volume da rotação dessa área em torno do eixo .

Passo 6

Identificamos que a borda superior é f(x) = 3 e a borda inferior é . Porém, na fórmula do volume pela rotação, usamos a função que está mais distante do eixo , que aqui é . Portanto,:
Os limites de integração são e .

Passo 7

Aplicando na fórmula:
V = integral0^1 pi [3]^2 , dx = pi integral0^1 9 , dx = 9pi integral0^1 , dx
Vamos calcular essa integral.

Passo 8

Integrando 1 em relação a integral , dx = x + C :
V = 9pi [1 - 0] = 9pi
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 9

Por fim, vamos para a parte ©. A região A = (x, y) in R^2 ; , x^2 + (y - 2)^2 <= 1 é definida por:
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio 1. Queremos encontrar o volume da rotação dessa região em torno do eixo .

Passo 10

Primeiro, vamos resolver a equação do círculo para x^2 + (y - 2)^2 = 1 implies (y - 2)^2 = 1 - x^2 implies y - 2 = pm raiz1 - x^2 implies y = 2 pm raiz1 - x^2 :
ysuperior = 2 + raiz1 - x^2
Isso nos dá duas funções:
yinferior = 2 - raiz1 - x^2
Como vamos rotacionar em torno do eixo , precisamos determinar a função que está mais acima e a que está mais abaixo para usar no método dos discos.

Passo 11

A função superior é f(x) = ysuperior - yinferior = (2 + raiz1 - x^2) - (2 - raiz1 - x^2) = 2raiz1 - x^2 e a inferior é V = pi integrala^b [ ysuperior^2 - yinferior^2 ] dx . A altura total da região é:
Entretanto, para calcular o volume pela rotação, usamos a fórmula:
Vamos substituir as funções encontradas.

Passo 12

Substituindo na fórmula:
V = pi integral-1^1 [ (2 + raiz1 - x^2)^2 - (2 - raiz1 - x^2)^2 ] dx
Expandindo os quadrados:
(2 + raiz1 - x^2)^2 = 4 + 4raiz1 - x^2 + (1 - x^2)
(2 - raiz1 - x^2)^2 = 4 - 4raiz1 - x^2 + (1 - x^2)
Subtraindo:
(2 + raiz1 - x^2)^2 - (2 - raiz1 - x^2)^2 = 8raiz1 - x^2
Portanto:
V = pi integral-1^1 8raiz1 - x^2 , dx = 8pi integral-1^1 raiz1 - x^2 , dx
Sabemos que V = 8pi cdot pi2 = 4pi^2 . Então:

Resposta

O volume V = 4pi^2 do sólido gerado é:

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