Seja
contínua em
, com
em
. Denote por
a região do plano limitado pelas retas
, pelo eixo
e pelo gráfico de
. O volume
do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
, é dado por
Calcule
nas seguintes situações:
(a)
.
(b)
.
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Então, vamos começar com a parte (a) do exercício. A gente tem a região
definida por:
Isso significa que
varia entre 1 e 2, e para cada
nesse intervalo,
vai de
até
. O que precisamos fazer é encontrar o volume
do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo
usando a fórmula:
Vamos precisar identificar a função
que representa a borda superior da região
.
Passo 2
Na região dada, a borda superior é
. Então,
. Os limites de integração são
e
.
Passo 3
Substituindo na fórmula do volume:
Agora, vamos calcular essa integral.
Passo 4
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). A região
está definida por:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada
,
vai de
até 3. Precisamos achar o volume
da rotação dessa área em torno do eixo
.
Passo 6
Identificamos que a borda superior é
e a borda inferior é
. Porém, na fórmula do volume pela rotação, usamos a função que está mais distante do eixo
, que aqui é
. Portanto,:
Os limites de integração são
e
.
Passo 7
Aplicando na fórmula:
Vamos calcular essa integral.
Passo 8
Integrando 1 em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 9
Por fim, vamos para a parte ©. A região
é definida por:
Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio 1. Queremos encontrar o volume
da rotação dessa região em torno do eixo
.
Passo 10
Primeiro, vamos resolver a equação do círculo para
:
Isso nos dá duas funções:
Como vamos rotacionar em torno do eixo
, precisamos determinar a função que está mais acima e a que está mais abaixo para usar no método dos discos.
Passo 11
A função superior é
e a inferior é
. A altura total da região é:
Entretanto, para calcular o volume pela rotação, usamos a fórmula:
Vamos substituir as funções encontradas.
Passo 12
Substituindo na fórmula:
Expandindo os quadrados:
Subtraindo:
Portanto:
Sabemos que
. Então:
Resposta
O volume
do sólido gerado é: