Suponha
e contínua em
, com
, e considere o conjunto
O volume
do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
, é o número
Utilize tal fórmula, conhecida como o método das cascas cilíndricas, para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, dos seguintes conjuntos:
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o volume de um sólido formado quando a área
é girada em torno do eixo
. A matéria que vamos usar é o método das cascas cilíndricas, e vamos precisar dessa fórmula:
Essa fórmula ajuda a encontrar o volume usando integrais, onde
é a função que define a altura da casca.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a) do exercício:
Aqui, a função que define
é
e a função inferior é
. Porém, como vamos girar em torno do eixo
, precisamos identificar a função
que representa a altura da casca. Nesse caso, a altura é
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. A variável
varia de onde
até
. Para encontrar os limites em
, igualamos
e obtemos
e
. Mas como
, nosso intervalo é de
a
.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula das cascas cilíndricas:
Aqui,
é o raio da casca, e
é a altura da casca.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:
Avaliado de 0 a 2:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) do exercício:
Aqui, a função que define
é
.
Passo 7
Identificamos os limites de integração.
varia de
a
, então
e
.
Passo 8
Aplicamos a fórmula das cascas cilíndricas:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde:
Passo 9
Aplicando integração por partes:
Avaliado de 0 a
:
Passo 10
Substituímos na fórmula do volume:
Resposta
(a) O volume é
.
(b) O volume é
.