Suponha f(x) >= 0 e contínua em [a, b], com a>0, e considere o conjunto
A=(x, y) in R^2 ; a <= x <= b, 0 <= y <= f(x)
O volume V do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto A, é o número
V=2 pi integrala^b x f(x) d x
Utilize tal fórmula, conhecida como o método das cascas cilíndricas, para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, dos seguintes conjuntos:
(a) A=(x, y) in R^2 ; x >= 0, x^2 <= y <= 4.
(b) A=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= pi, 0 <= y <= sen x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o volume de um sólido formado quando a área V = 2pi integrala^b x f(x) , dx é girada em torno do eixo . A matéria que vamos usar é o método das cascas cilíndricas, e vamos precisar dessa fórmula:
Essa fórmula ajuda a encontrar o volume usando integrais, onde é a função que define a altura da casca.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a) do exercício:
A = (x, y) in R^2 ; x >= 0, x^2 <= y <= 4
Aqui, a função que define é e a função inferior é . Porém, como vamos girar em torno do eixo , precisamos identificar a função que representa a altura da casca. Nesse caso, a altura é .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A variável varia de onde até . Para encontrar os limites em , igualamos e obtemos e . Mas como , nosso intervalo é de a .

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula das cascas cilíndricas:
V = 2pi integral0^2 x (4 - x^2) , dx
Aqui, é o raio da casca, e é a altura da casca.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
V = 2pi integral0^2 (4x - x^3) , dx
Integrando termo a termo:
integral (4x - x^3) , dx = 2x^2 - 14x^4
Avaliado de 0 a 2:
V = 2pi [2(2)^2 - 14(2)^4 - (0 - 0)] = 2pi (8 - 4) = 2pi times 4 = 8pi

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício:
A = (x, y) in R^2 ; 0 <= x <= pi, 0 <= y <= sin x
Aqui, a função que define é .

Passo 7

Identificamos os limites de integração. varia de a , então e .

Passo 8

Aplicamos a fórmula das cascas cilíndricas:
V = 2pi integral0^pi x sin x , dx
Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sin x , dx Rightarrow v = -cos x

Passo 9

Aplicando integração por partes:
integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x
Avaliado de 0 a [-pi cos pi + sin pi] - [-0 cos 0 + sin 0] = -pi (-1) + 0 - (0 + 0) = pi :

Passo 10

Substituímos na fórmula do volume:
V = 2pi times pi = 2pi^2

Resposta

(a) O volume é .
(b) O volume é .

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