A função é diferenciável? Justifique com detalhes. se e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A função dada é quando e . A pergunta é: Essa função é diferenciável em ?
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis, verificar se a função é contínua nesse ponto e calcular as derivadas parciais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, precisamos ver se o limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, calculamos:
Vamos usar coordenadas polares para facilitar, onde e . Assim:
Agora, quando :
Então, o limite é 0, que é igual a . Portanto, a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando só uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Então, ambas as derivadas parciais em são iguais a 0.

Passo 4

Agora que sabemos que a função é contínua em e que suas derivadas parciais existem e são iguais a 0, precisamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto.
Uma maneira de verificar a diferenciabilidade é ver se:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Vamos novamente usar coordenadas polares: , :
Quando , . Portanto, o limite é 0.

Resposta

Sim, a função se e é diferenciável em .

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