A função
é diferenciável? Justifique com detalhes.
se
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A função dada é
quando
e
. A pergunta é: Essa função é diferenciável em
?
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis, verificar se a função é contínua nesse ponto e calcular as derivadas parciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Para isso, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
.
Então, calculamos:
Vamos usar coordenadas polares para facilitar, onde
e
. Assim:
Agora, quando
:
Então, o limite é 0, que é igual a
. Portanto, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando só uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Então, ambas as derivadas parciais em
são iguais a 0.
Passo 4
Agora que sabemos que a função é contínua em
e que suas derivadas parciais existem e são iguais a 0, precisamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto.
Uma maneira de verificar a diferenciabilidade é ver se:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Vamos novamente usar coordenadas polares:
,
:
Quando
,
. Portanto, o limite é 0.
Resposta
Sim, a função
se
e
é diferenciável em
.
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(b)
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(e)
(e)
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(h) e
constantes
(h)