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vetor aleatório (
) é chamado de uniformemente distribuído em uma região
do plano se, para alguma constante c, sua densidade conjunta é:
(a) Mostre que
área da região R. Suponha que (X, Y) seja uniformemente distribuído ao longo do quadrado centrado em
e com lados de comprimento 2 .
(b) Mostre que as marginais
e
tambem sao uniformes.
©Qual é a probabilidade de que (
) esteja contido no círculo de raio 1 centrado na origem? Isto é, determine
.
(b) Mostre que as marginais
©Qual é a probabilidade de que (
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de probabilidade. A gente está lidando com vetores aleatórios uniformemente distribuídos em uma região do plano. Precisamos resolver três partes: calcular a constante relacionada à área, mostrar que as marginais também são uniformes e encontrar a probabilidade de um ponto estar dentro de um círculo de raio 1 no meio de um quadrado. Vamos usar um pouco de geometria e distribuições de probabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um vetor aleatório ser uniformemente distribuído em uma região
. Isso quer dizer que a densidade de probabilidade
é constante dentro dessa região e zero fora. A função de densidade é dada por:
Onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Para que
seja uma função de densidade válida, a integral dela sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Ou seja:
Como
dentro da região
e zero fora, a integral se simplifica para:
Passo 4
Agora, queremos mostrar que
é igual à área da região
. A partir da equação anterior:
Assim, mostramos que
realmente representa a área da região
.
Passo 5
No exercício,
é um quadrado centrado na origem com lados de comprimento 2. A área de um quadrado é dado por lado ao quadrado. Então:
Portanto, temos:
Resposta
A constante
é igual a
.
Exercícios relacionados
- Seja função de densidade
. Determine a constante k e as densidades marginais de X e Y .
- A função de distribuição acumulada de
é igual a para e y , e ZERO em caso contrário. Determine a funcao de densidade e calcule .
- A variável aleatória bidimensional (
) tem função de densidade dada pela expressão .
Determine a constante c e as funções de densidade marginais.
Lima uma contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30 . Uma bolinha é escolhida e é observado seu número. Seja
. Descreva os eventos:
a) o número obrido é par
a) o número obrido é par