• vetor aleatório ( ) é chamado de uniformemente distribuído em uma região do plano se, para alguma constante c, sua densidade conjunta é:
á
(a) Mostre que área da região R. Suponha que (X, Y) seja uniformemente distribuído ao longo do quadrado centrado em e com lados de comprimento 2 .
(b) Mostre que as marginais e tambem sao uniformes.
©Qual é a probabilidade de que ( ) esteja contido no círculo de raio 1 centrado na origem? Isto é, determine .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de probabilidade. A gente está lidando com vetores aleatórios uniformemente distribuídos em uma região do plano. Precisamos resolver três partes: calcular a constante relacionada à área, mostrar que as marginais também são uniformes e encontrar a probabilidade de um ponto estar dentro de um círculo de raio 1 no meio de um quadrado. Vamos usar um pouco de geometria e distribuições de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor aleatório ser uniformemente distribuído em uma região . Isso quer dizer que a densidade de probabilidade é constante dentro dessa região e zero fora. A função de densidade é dada por:
á
Onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Para que seja uma função de densidade válida, a integral dela sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Ou seja:
Como dentro da região e zero fora, a integral se simplifica para:
Á

Passo 4

Agora, queremos mostrar que é igual à área da região . A partir da equação anterior:
ÁÁ
Assim, mostramos que realmente representa a área da região .

Passo 5

No exercício, é um quadrado centrado na origem com lados de comprimento 2. A área de um quadrado é dado por lado ao quadrado. Então:
Á
Portanto, temos:

Resposta

A constante é igual a .

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  • Seja função de densidade . Determine a constante k e as densidades marginais de X e Y .
  • A função de distribuição acumulada de é igual a para e y , e ZERO em caso contrário. Determine a funcao de densidade e calcule .
  • A variável aleatória bidimensional ( ) tem função de densidade dada pela expressão .
    Determine a constante c e as funções de densidade marginais.
Lima uma contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30 . Uma bolinha é escolhida e é observado seu número. Seja . Descreva os eventos:
a) o número obrido é par