Uma função exponencial tem a propriedade de ser sua própria derivada é a f(x) = ex. Mediante essa informação e dada a função: g(x) = e(x² – x) Assinale a alternativa que forneça a derivada da função g(x):
A) g’(x) = (x² - x)e(2x – 1).
B) g’(x) = ex.
C) g’(x) = (2x – 1)e(x² – x).
D) g’(x) = (x² - x)e2x.
E) g’(x) = e2x – 1.
A) g’(x) = (x² - x)e(2x – 1).
B) g’(x) = ex.
C) g’(x) = (2x – 1)e(x² – x).
D) g’(x) = (x² - x)e2x.
E) g’(x) = e2x – 1.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função exponencial $ g(x) = e^{x² - x} $ e precisa encontrar a sua derivada. Isso envolve cálculo de derivadas de funções compostas, usando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar saber como derivar exponenciais e polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função exponencial $ e^u $ é $ e^u \cdot u’ $, onde $ u $ é uma função de $ x $. No nosso caso, $ u = x² - x $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $. Então, $ u’ = \frac{d}{dx}(x²) - \frac{d}{dx}(x) $.
Passo 4
Derivando termo a termo:
- A derivada de $ x² $ é $ 2x $.
- A derivada de $ x $ é $ 1 $.
Então, $ u’ = 2x - 1 $.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ g(x) = e^{x² - x} $ é:
Resposta
A derivada de $ g(x) $ é $ g’(x) = (2x - 1)e^{x² - x} $. Portanto, a alternativa correta é a letra C.