Uma função exponencial tem a propriedade de ser sua própria derivada é a f(x) = ex. Mediante essa informação e dada a função: g(x) = e(x² – x) Assinale a alternativa que forneça a derivada da função g(x):
A) g’(x) = (x² - x)e(2x – 1).
B) g’(x) = ex.
C) g’(x) = (2x – 1)e(x² – x).
D) g’(x) = (x² - x)e2x.
E) g’(x) = e2x – 1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função exponencial $ g(x) = e^{x² - x} $ e precisa encontrar a sua derivada. Isso envolve cálculo de derivadas de funções compostas, usando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar saber como derivar exponenciais e polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função exponencial $ e^u $ é $ e^u \cdot u’ $, onde $ u $ é uma função de $ x $. No nosso caso, $ u = x² - x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $. Então, $ u’ = \frac{d}{dx}(x²) - \frac{d}{dx}(x) $.

Passo 4

Derivando termo a termo:
  • A derivada de $ x² $ é $ 2x $.
  • A derivada de $ x $ é $ 1 $.
    Então, $ u’ = 2x - 1 $.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ g(x) = e^{x² - x} $ é:
g(x) = e^x² - x ²

Resposta

A derivada de $ g(x) $ é $ g’(x) = (2x - 1)e^{x² - x} $. Portanto, a alternativa correta é a letra C.

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