Encontre os limites quando
e quando
. Use essa informação, bem como as intersecções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 12.
56.
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Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o desafio aqui! Você tem a função
e precisa encontrar os limites quando
vai para
e
. Depois disso, com essas informações e os pontos onde a função cruza os eixos, vamos esboçar o gráfico, igualzinho ao que foi mostrado no Exemplo 12. Para isso, vamos precisar entender de limites, comportamento de funções polinomiais e encontrar as intersecções com os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função quando
tende a
. Para isso, vamos analisar o comportamento dos termos da função quando
cresce muito.
A função é:
Quando
vai para
, os termos
,
e
também vão para
. Portanto, o comportamento dominante é multiplicar todos esses grandes valores. Como todos os fatores são positivos, o limite vai para
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a
. Vamos novamente olhar para a função:
Quando
vai para
, analisamos cada fator:
-
sempre é positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo. -
também é sempre positivo pelo mesmo motivo. -
, quando é muito negativo, será negativo.
Então, multiplicando dois termos positivos e um negativo, o resultado geral será negativo. Além disso, como todos os termos crescem sem limites em módulo, o limite será
.
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as intersecções com os eixos.
Intersecção com o eixo y: É o ponto onde
.
Substituindo
na função:
Então, a intersecção com o eixo y é o ponto
.
Intersecções com o eixo x: São os pontos onde
.
Para
, cada fator pode ser igual a zero:
Então, as intersecções com o eixo x são os pontos
,
,
e
.
Passo 5
Vamos agora resumir as informações que coletamos para esboçar o gráfico:
-
Limites:
- Quando
, . - Quando
, .
- Quando
-
Intersecções com os eixos:
- Eixo y em
. - Eixo x em
, , e .
- Eixo y em
Com esses pontos e os comportamentos aos limites, conseguimos desenhar o esboço do gráfico.
Resposta
O gráfico da função
tem as intersecções com o eixo x nos pontos
,
,
e
. Quando
tende a
,
tende a
e quando
tende a
,
tende a
. Com essas informações, o esboço do gráfico mostra que a função cresce para
à direita e para
à esquerda, passando pelos pontos mencionados nos eixos.