Encontre os limites quando x -> infinito e quando x -> -infinito. Use essa informação, bem como as intersecções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 12.
56. y = x^2 * (x^2 - 1)^2 * (x + 2)

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o desafio aqui! Você tem a função e precisa encontrar os limites quando vai para e . Depois disso, com essas informações e os pontos onde a função cruza os eixos, vamos esboçar o gráfico, igualzinho ao que foi mostrado no Exemplo 12. Para isso, vamos precisar entender de limites, comportamento de funções polinomiais e encontrar as intersecções com os eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando tende a . Para isso, vamos analisar o comportamento dos termos da função quando cresce muito.
A função é:
Quando vai para , os termos , e também vão para . Portanto, o comportamento dominante é multiplicar todos esses grandes valores. Como todos os fatores são positivos, o limite vai para .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando tende a . Vamos novamente olhar para a função:
Quando vai para , analisamos cada fator:
  • sempre é positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo.
  • também é sempre positivo pelo mesmo motivo.
  • , quando é muito negativo, será negativo.
Então, multiplicando dois termos positivos e um negativo, o resultado geral será negativo. Além disso, como todos os termos crescem sem limites em módulo, o limite será .
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as intersecções com os eixos.
Intersecção com o eixo y: É o ponto onde .
Substituindo na função:
Então, a intersecção com o eixo y é o ponto .
Intersecções com o eixo x: São os pontos onde .
Para , cada fator pode ser igual a zero:
Então, as intersecções com o eixo x são os pontos , , e .

Passo 5

Vamos agora resumir as informações que coletamos para esboçar o gráfico:
  • Limites:
    • Quando , .
    • Quando , .
  • Intersecções com os eixos:
    • Eixo y em .
    • Eixo x em , , e .
Com esses pontos e os comportamentos aos limites, conseguimos desenhar o esboço do gráfico.

Resposta

O gráfico da função tem as intersecções com o eixo x nos pontos , , e . Quando tende a , tende a e quando tende a , tende a . Com essas informações, o esboço do gráfico mostra que a função cresce para à direita e para à esquerda, passando pelos pontos mencionados nos eixos.

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