Uma função tem as seguintes características:
(i) existe um número tal que se então
(ii) .
Conclua que é periódica e exiba um período dela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função com duas características específicas. Vamos precisar entender sobre funções periódicas e funções inversas. Nosso objetivo é mostrar que essa função é periódica e encontrar o período dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função é periódica se existe um número tal que, para todo no domínio da função, . Esse é chamado de período da função.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira característica do enunciado: existe um número tal que se está em , então e também estão em . Isso significa que podemos “andar” pelo domínio da função de passos de tamanho tanto para a direita quanto para a esquerda.
Passo 4
A segunda característica nos diz que para todo em . Isso relaciona o valor da função em com o inverso do valor em .
Passo 5
Vamos aplicar essa relação duas vezes para ver o que acontece. Primeiro, substituímos por :
Isso simplifica para:
Mas sabemos que , então substituímos:
Passo 6
Chegamos a . Isso significa que a função volta ao valor original após um deslocamento de .
Passo 7
Portanto, é um período da função , já que após esse intervalo a função se repete.