Uma função f: A -> R tem as seguintes características:
(i) existe um número T != 0 tal que se x em A então x + T, x - T in A
(ii) f(x + T) = 1/f(x), x em A.
Conclua que f é periódica e exiba um período dela.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função com duas características específicas. Vamos precisar entender sobre funções periódicas e funções inversas. Nosso objetivo é mostrar que essa função é periódica e encontrar o período dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função é periódica se existe um número tal que, para todo no domínio da função, . Esse é chamado de período da função.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira característica do enunciado: existe um número tal que se está em , então e também estão em . Isso significa que podemos “andar” pelo domínio da função de passos de tamanho tanto para a direita quanto para a esquerda.

Passo 4

A segunda característica nos diz que para todo em . Isso relaciona o valor da função em com o inverso do valor em .

Passo 5

Vamos aplicar essa relação duas vezes para ver o que acontece. Primeiro, substituímos por :
Isso simplifica para:
Mas sabemos que , então substituímos:

Passo 6

Chegamos a . Isso significa que a função volta ao valor original após um deslocamento de .

Passo 7

Portanto, é um período da função , já que após esse intervalo a função se repete.

Resposta

A função é periódica com período .

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Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares: f(x) = x sen x
Uma função f: A -> R tem as seguintes características:
(i) existe um número T != 0 tal que se x em A então x + T, x - T in A
(ii) f(x + T) = f(x - T), x em A.
Conclua que f é periódica e exiba um período dela.
Seja f(x) = { x, se x < 1; x^2, se 1 <= x <= 9; 27 * raiz(x), se x > 9 }. Verifique que f tem uma inversa e encontre f^(-1)(x).
Uma função f: A -> R tem as seguintes características:
(i) existem dois números T1 e T2, com T1 + T2 ≠ 0, tais que se x em A então x + T1, x - T1, x + T2, x - T2 ∈ A
(ii) f(x + T1) = f(x + T2), x em A.
Conclua que f é periódica e exiba um período dela.