Uma função tem as seguintes características:
(i) existem dois números e , com , tais que se então
(ii) .
Conclua que é periódica e exiba um período dela.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma função que possui duas propriedades:
Existem dois números e , onde , e para qualquer no conjunto , os valores , , e também pertencem a .
A função satisfaz para todo em .
Nosso objetivo é mostrar que é uma função periódica e encontrar um período para ela. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica e como usar as propriedades dadas para encontrar o período.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é periódica se existe um número tal que para todo no domínio da função. O menor valor positivo de que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental da função.
Agora, vamos usar as informações fornecidas:
Sabemos que . Vamos manipular essa equação para relacionar com e identificar um período .
Passo 3
Observe que . Podemos reescrever isso da seguinte forma:
Subtraindo de ambos os lados dentro da função, temos:
Simplificando:
Passo 4
A equação mostra que adicionar a não altera o valor de . Isso significa que se repete a cada , ou seja, é um período de .
Passo 5
Concluímos, portanto, que a função é periódica e um período dela é .