Uma função f: A -> R tem as seguintes características:
(i) existem dois números T1 e T2, com T1 + T2 ≠ 0, tais que se x em A então x + T1, x - T1, x + T2, x - T2 ∈ A
(ii) f(x + T1) = f(x + T2), x em A.
Conclua que f é periódica e exiba um período dela.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma função que possui duas propriedades:
  1. Existem dois números e , onde , e para qualquer no conjunto , os valores , , e também pertencem a .
  2. A função satisfaz para todo em .
Nosso objetivo é mostrar que é uma função periódica e encontrar um período para ela. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica e como usar as propriedades dadas para encontrar o período.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é periódica se existe um número tal que para todo no domínio da função. O menor valor positivo de que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental da função.
Agora, vamos usar as informações fornecidas:
  1. Sabemos que . Vamos manipular essa equação para relacionar com e identificar um período .

Passo 3

Observe que . Podemos reescrever isso da seguinte forma:
Subtraindo de ambos os lados dentro da função, temos:
Simplificando:

Passo 4

A equação mostra que adicionar a não altera o valor de . Isso significa que se repete a cada , ou seja, é um período de .

Passo 5

Concluímos, portanto, que a função é periódica e um período dela é .

Resposta

A função é periódica e um período dela é .

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Uma função f: A -> R tem as seguintes características:
(i) existe um número T != 0 tal que se x em A então x + T, x - T in A
(ii) f(x + T) = 1/f(x), x em A.
Conclua que f é periódica e exiba um período dela.
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Considere a função f: R -> R dada por
f(x) = { 3 - x^2, se |x| <= 1; 2/|x|, se |x| > 1 }
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