Seja . Verifique que f tem uma inversa e encontre f^(-1)(x).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função tem uma inversa e, se tiver, encontrar . A função é definida por partes:
Vamos usar conceitos de funções inversas e verificar se cada parte dessa função é injetora (ou seja, cada saída corresponde a apenas uma entrada), o que é necessário para que a função tenha uma inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se cada trecho da função é injetora.
Para : A função é , que é uma função linear crescente. Como para cada valor de temos apenas um valor de , essa parte é injetora.
Para : A função é . No intervalo , é também crescente, então essa parte é injetora.
Para : A função é . A raiz quadrada é uma função crescente, e multiplicando por 27 continua sendo crescente. Portanto, essa parte também é injetora.
Como cada parte da funç��o é injetora em seu respectivo intervalo, a função completa é injetora e, portanto, possui uma inversa.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inversa para cada parte da função original.
Para quando :
Então, a inversa é .
Para quando :
Como , não precisamos nos preocupar com valores negativos. Assim, a inversa é .