(a) Para a função f e a região R fornecidas, expresse a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A como uma integral iterada.
(b) Calcule a integral iterada.
f(x, y)=x+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral dupla da função sobre uma região . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas e como transformá-las em integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração de e como ordenar as integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir a região . Suponhamos que seja um retângulo definido por e . Com isso, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada, ou seja, uma integral dentro de outra.

Passo 3

Vamos montar a integral iterada. Nesse caso:
integral duplaR (x + y) , dA = integral0^a ( integral0^b (x + y) , dy ) dx
Aqui, integramos primeiro em relação a mantendo constante, e depois integramos o resultado em relação a .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral interna:
integral0^b (x + y) , dy = integral0^b x , dy + integral0^b y , dy = x cdot b + b^22

Passo 5

Substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^a ( x cdot b + b^22 ) dx = b integral0^a x , dx + b^22 integral0^a dx

Passo 6

Calculamos cada uma das integrais:
b cdot a^22 + b^22 cdot a = a^2 b2 + a b^22

Resposta

A integral dupla é igual a .

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