(a) Para a função f e a região R fornecidas, expresse a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A como uma integral iterada.
(b) Calcule a integral iterada.
f(x, y)=x y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e uma região no plano . A tarefa é:
(a) Expressar a integral dupla como uma integral iterada.
(b) Calcular essa integral iterada.
Para resolver isso, vamos precisar saber como configurar os limites de integração para e dentro da região . Isso envolve entender os limites inferiores e superiores para cada variável.

Passo 2

Vamos supor que a região a <= x <= b e c <= y <= d seja definida pelas seguintes condições:
Isso significa que varia de a e, para cada valor de , varia de a .

Passo 3

Com base nessa definição, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Geralmente, escolhemos a ordem de integração que simplifica os cálculos. Vamos integrar primeiro em relação a integral duplaR xy , dA = integrala^b ( integralc^d xy , dy ) dx e depois em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral interna, que é em relação a integralc^d xy , dy :
x integralc^d y , dy
Aqui, é considerado uma constante em relação a . Então, podemos tirar da integral:

Passo 5

Vamos integrar integral y , dy = y^22 + C em relação a x ( d^22 - c^22 ) = x cdot d^2 - c^22 :
Aplicando os limites de a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integrala^b x cdot d^2 - c^22 , dx = d^2 - c^22 integrala^b x , dx

Passo 7

Vamos calcular a integral em relação a integral x , dx = x^22 + C :
d^2 - c^22 ( b^22 - a^22 ) = d^2 - c^22 cdot b^2 - a^22 = (d^2 - c^2)(b^2 - a^2)4
Aplicando os limites de a :

Resposta

A integral dupla (d^2 - c^2)(b^2 - a^2)4 elevada a uma integral iterada e calculada resulta em:

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