(a) Para a função
e a região
fornecidas, expresse a integral dupla
como uma integral iterada.
(b) Calcule a integral iterada.
(b) Calcule a integral iterada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e uma região
no plano
. A tarefa é:
(a) Expressar a integral dupla
como uma integral iterada.
(b) Calcular essa integral iterada.
Para resolver isso, vamos precisar saber como configurar os limites de integração para
e
dentro da região
. Isso envolve entender os limites inferiores e superiores para cada variável.
Passo 2
Vamos supor que a região
seja definida pelas seguintes condições:
Isso significa que
varia de
a
e, para cada valor de
,
varia de
a
.
Passo 3
Com base nessa definição, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Geralmente, escolhemos a ordem de integração que simplifica os cálculos. Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral interna, que é em relação a
:
Aqui,
é considerado uma constante em relação a
. Então, podemos tirar
da integral:
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 7
Vamos calcular a integral em relação a
:
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
A integral dupla
elevada a uma integral iterada e calculada resulta em: