Use transformada de Fourier para resolver as seguintes EDPs com valores de contorno.
Determine a temperatura
em uma barra semi-infinita se
e
.
Determine a temperatura
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a temperatura
em uma barra semi-infinita usando a transformada de Fourier. Estamos lidando com uma equação diferencial parcial (EDP) do tipo equação do calor, onde temos condições de contorno:
para
e a condição inicial
para
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada de Fourier na EDP e resolver utilizando as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação do calor em uma dimensão é dada por:
onde
é a difusividade térmica. Para simplificação, vamos assumir
. Então, nossa equação fica:
Agora, aplicamos a transformada de Fourier em relação à variável
. A transformada de Fourier de uma função
é definida por:
Mas como nossa barra é semi-infinita (
), ajustamos os limites de integração:
Passo 3
Ao aplicar a transformada de Fourier na equação do calor, obtemos:
Aqui, a segunda derivada em
se transforma em
pelo fato de que a transformada de Fourier da derivada segunda é
. Precisamos também considerar os termos de contorno devido à região semi-infinita.
Passo 4
Considerando a condição inicial
, aplicamos a transformada de Fourier:
Essa é a transformada da condição inicial.
Passo 5
Resolvendo a equação transformada no tempo, temos:
Essa é uma equação diferencial simples de primeira ordem, cuja solução é:
Passo 6
Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier para voltar ao domínio original. A transformada inversa é dada por:
Substituindo
, temos:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração complexa, mas para simplificação, reconhecemos que a solução geral para esse tipo de problema é a soma da solução homogênea e da solução particular devido à condição de contorno.
Passo 7
A solução final para a temperatura na barra semi-infinita é dada por:
onde
é a função complementar ao erro, que surge naturalmente ao resolver a equação do calor com essas condições.
Resposta
A temperatura na barra semi-infinita é