Use transformada de Fourier para resolver as seguintes EDPs com valores de contorno.
Determine a temperatura u(x, t) em uma barra semi-infinita se u(0, t) = 1, t > 0 e u(x, 0) = e^(-x), x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a temperatura em uma barra semi-infinita usando a transformada de Fourier. Estamos lidando com uma equação diferencial parcial (EDP) do tipo equação do calor, onde temos condições de contorno: para e a condição inicial para . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada de Fourier na EDP e resolver utilizando as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação do calor em uma dimensão é dada por:
onde é a difusividade térmica. Para simplificação, vamos assumir . Então, nossa equação fica:
Agora, aplicamos a transformada de Fourier em relação à variável . A transformada de Fourier de uma função é definida por:
Mas como nossa barra é semi-infinita ( ), ajustamos os limites de integração:

Passo 3

Ao aplicar a transformada de Fourier na equação do calor, obtemos:
Aqui, a segunda derivada em se transforma em pelo fato de que a transformada de Fourier da derivada segunda é . Precisamos também considerar os termos de contorno devido à região semi-infinita.

Passo 4

Considerando a condição inicial , aplicamos a transformada de Fourier:
Essa é a transformada da condição inicial.

Passo 5

Resolvendo a equação transformada no tempo, temos:
Essa é uma equação diferencial simples de primeira ordem, cuja solução é:

Passo 6

Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier para voltar ao domínio original. A transformada inversa é dada por:
Substituindo , temos:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração complexa, mas para simplificação, reconhecemos que a solução geral para esse tipo de problema é a soma da solução homogênea e da solução particular devido à condição de contorno.

Passo 7

A solução final para a temperatura na barra semi-infinita é dada por:
onde é a função complementar ao erro, que surge naturalmente ao resolver a equação do calor com essas condições.

Resposta

A temperatura na barra semi-infinita é

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