Dê pelo menos um exemplo de função , que tenha ao menos uma raiz e não possa ser determinada pelo método da bisseção.

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que o problema está pedindo. A questão quer que a gente encontre uma função que tenha pelo menos uma raiz (ou seja, um ponto onde ) e que não possa ser resolvida usando o método da bisseção. Para resolver isso, precisamos saber um pouco sobre o método da bisseção e entender quais tipos de funções não são compatíveis com ele.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o método da bisseção. Esse método é uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. Ele funciona dividindo repetidamente um intervalo ao meio e selecionando o subintervalo onde a função muda de sinal, o que, pela Teorema do Valor Intermediário, garante que existe uma raiz nesse intervalo. Então, para que o método da bisseção funcione, a função precisa ser contínua no intervalo considerado e deve haver uma mudança de sinal nos extremos desse intervalo.

Passo 3

Agora, para encontrar uma função que tenha uma raiz mas não possa ser resolvida pelo método da bisseção, a gente precisa pensar em funções que não atendem aos requisitos do método. Uma situação comum é quando a função não é contínua no intervalo onde está a raiz. Se a função não for contínua, o método da bisseção não consegue garantir a existência da raiz no intervalo e, portanto, não pode ser aplicado.

Passo 4

Vamos construir um exemplo simples de uma função que tem uma raiz mas não é contínua. Pense na função definida da seguinte forma:

Passo 5

Vamos analisar essa função:
  • Raiz: , então é uma raiz.
  • Continuidade: Para , . Em , . No entanto, à medida que nos aproximamos de por qualquer lado, o valor de sempre será 1, não igualando a 0. Portanto, a função não é contínua em .

Passo 6

Como a função não é contínua em , o método da bisseção não pode ser aplicado para encontrar a raiz nesse ponto. O método depende da continuidade para garantir que existe uma raiz no intervalo escolhido, o que não acontece aqui.

Resposta

Um exemplo de função que possui uma raiz e não pode ser determinada pelo método da bisseção é:

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Partindo de e , utilizando como critério de parada , sendo , encontrar a raiz de: utilizando o método das Secantes.
Seja com zero no intervalo . Utilize o método da posição falsa para encontrar a aproximação da raiz de , com precisão de .
Determine a raiz de , partindo de utilizando o método de Newton-Raphson, com precisão .
A função possui um zero no intervalo obtenha o valor aproximado da raiz, com através do método da bisseção e responda quantas iterações foram necessárias.