Dê pelo menos um exemplo de função
, que tenha ao menos uma raiz e não possa ser determinada pelo método da bisseção.
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que o problema está pedindo. A questão quer que a gente encontre uma função
que tenha pelo menos uma raiz (ou seja, um ponto onde
) e que não possa ser resolvida usando o método da bisseção. Para resolver isso, precisamos saber um pouco sobre o método da bisseção e entender quais tipos de funções não são compatíveis com ele.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o método da bisseção. Esse método é uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. Ele funciona dividindo repetidamente um intervalo ao meio e selecionando o subintervalo onde a função muda de sinal, o que, pela Teorema do Valor Intermediário, garante que existe uma raiz nesse intervalo. Então, para que o método da bisseção funcione, a função precisa ser contínua no intervalo considerado e deve haver uma mudança de sinal nos extremos desse intervalo.
Passo 3
Agora, para encontrar uma função que tenha uma raiz mas não possa ser resolvida pelo método da bisseção, a gente precisa pensar em funções que não atendem aos requisitos do método. Uma situação comum é quando a função não é contínua no intervalo onde está a raiz. Se a função não for contínua, o método da bisseção não consegue garantir a existência da raiz no intervalo e, portanto, não pode ser aplicado.
Passo 4
Vamos construir um exemplo simples de uma função que tem uma raiz mas não é contínua. Pense na função
definida da seguinte forma:
Passo 5
Vamos analisar essa função:
- Raiz:
, então é uma raiz. - Continuidade: Para
, . Em , . No entanto, à medida que nos aproximamos de por qualquer lado, o valor de sempre será 1, não igualando a 0. Portanto, a função não é contínua em .
Passo 6
Como a função não é contínua em
, o método da bisseção não pode ser aplicado para encontrar a raiz nesse ponto. O método depende da continuidade para garantir que existe uma raiz no intervalo escolhido, o que não acontece aqui.
Resposta
Um exemplo de função que possui uma raiz e não pode ser determinada pelo método da bisseção é:
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Partindo de
e
, utilizando como critério de parada
, sendo
, encontrar a raiz de:
utilizando o método das Secantes.
Seja
com zero no intervalo
. Utilize o método da posição falsa para encontrar a aproximação da raiz de
, com precisão de
.
Determine a raiz de
, partindo de
utilizando o método de Newton-Raphson, com precisão
.
A função
possui um zero no intervalo
obtenha o valor aproximado da raiz, com
através do método da bisseção e responda quantas iterações foram necessárias.