Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0.
(x^2 - 1) + 4 x y' + 2 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar duas soluções em série de potências que sejam linearmente independentes para a equação diferencial dada, em torno do ponto x = 0. Isso significa que vamos trabalhar com séries de potências para encontrar funções que satisfazem a equação. Para isso, precisaremos conhecer um pouco sobre séries de potências e como substituí-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução da equação diferencial pode ser escrita como uma série de potências em torno de x = 0. Ou seja, vamos supor que:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas dessa série, já que a equação diferencial envolve e possivelmente . Vamos calcular a primeira derivada:
E a segunda derivada:

Passo 4

Vamos substituir y, , e na equação diferencial fornecida:
Substituindo as séries:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Agora, combinando todos os termos:

Passo 6

Para resolver isso, precisamos alinhar os índices das somas para termos com o mesmo expoente de x. Fazendo uma mudança de índice no segundo termo para que o expoente seja :
Substitua n por :
Agora, a equação fica:
Para combinar todas as somas, vamos ajustar os índices para começarem todos de n = 0:

Passo 7

Como a soma é igual a zero para todo x, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Portanto, temos a relação de recorrência:
Simplificando:
Perceba que , então:
Cancelando (desde que não seja zero):

Passo 8

Essa relação nos diz que cada coeficiente é igual ao coeficiente . Isso significa que os coeficientes pares dependem de e os coeficientes ímpares dependem de . Vamos separar as duas soluções:
  1. Solução par (dependente de ):
E assim por diante. Portanto, todos os coeficientes pares são iguais a , e os coeficientes ímpares são zero:
  1. Solução ímpar (dependente de ):
Como não há relação definida para a1, assumimos que os coeficientes ímpares são iguais a :
E assim por diante, com os coeficientes pares sendo zero:

Resposta

As duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de x = 0 são:
e

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