Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar duas soluções em série de potências que sejam linearmente independentes para a equação diferencial dada, em torno do ponto
. Isso significa que vamos trabalhar com séries de potências para encontrar funções que satisfazem a equação. Para isso, precisaremos conhecer um pouco sobre séries de potências e como substituí-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução da equação diferencial pode ser escrita como uma série de potências em torno de
. Ou seja, vamos supor que:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas dessa série, já que a equação diferencial envolve
e possivelmente
. Vamos calcular a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 4
Vamos substituir
,
, e
na equação diferencial fornecida:
Substituindo as séries:
Passo 5
Agora, vamos simplificar cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora, combinando todos os termos:
Passo 6
Para resolver isso, precisamos alinhar os índices das somas para termos com o mesmo expoente de
. Fazendo uma mudança de índice no segundo termo para que o expoente seja
:
Substitua
por
:
Agora, a equação fica:
Para combinar todas as somas, vamos ajustar os índices para começarem todos de
:
Passo 7
Como a soma é igual a zero para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Portanto, temos a relação de recorrência:
Simplificando:
Perceba que
, então:
Cancelando
(desde que não seja zero):
Passo 8
Essa relação nos diz que cada coeficiente
é igual ao coeficiente
. Isso significa que os coeficientes pares dependem de
e os coeficientes ímpares dependem de
. Vamos separar as duas soluções:
- Solução par (dependente de
):
E assim por diante. Portanto, todos os coeficientes pares são iguais a
, e os coeficientes ímpares são zero:
- Solução ímpar (dependente de
):
Como não há relação definida para
, assumimos que os coeficientes ímpares são iguais a
:
E assim por diante, com os coeficientes pares sendo zero:
Resposta
As duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de
são:
e
Exercícios relacionados
Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante
, o número
de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento
em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que
é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
Deduza a equação diferencial que governa este processo.
Deduza a equação diferencial que governa este processo.
Para a função
existem as derivadas parciais
e
no ponto
?
Se
, entano
vale
d. 2 z
e.
a.
b.
c.
d. 2 z
e.
a.
b.
c.
Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.