A função não tem máximo nem mínimo absolutos, pois
. Seus pontos críticos são
e
, o primeiro de máximo, o segundo de mínimo, ambos relativos. Ela é crescente em
e
, e decrescente em
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está dizendo. Temos uma função que não tem máximos nem mínimos absolutos porque, quando
vai para mais ou menos infinito, o valor da função também vai para mais ou menos infinito. Além disso, a função tem pontos críticos em
e
. O ponto em
é um máximo relativo e o ponto em
é um mínimo relativo. A função está crescendo quando
e
, e está decrescendo entre
, exceto em
. Para entender tudo isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar pontos críticos e determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Pontos críticos são valores de
onde a derivada da função é zero ou não existe. Eles são importantes porque ajudam a identificar máximos e mínimos relativos na função.
Passo 3
No exercício, já foi dado que os pontos críticos são
e
. Vamos supor que a derivada da função
seja zero nesses pontos, ou seja,
e
.
Passo 4
Agora, vamos entender o que significa a função ser crescente ou decrescente em certos intervalos. Uma função é crescente em um intervalo se, conforme
aumenta,
também aumenta. Isso acontece quando a derivada
é positiva nesse intervalo. Da mesma forma, a função é decrescente se
é negativa.
Passo 5
De acordo com o exercício:
- A função é crescente em
e . Isso significa que nesses intervalos. - A função é decrescente em
, exceto em . Então, nesse intervalo, exceto em .
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função nos pontos críticos:
- Em
, a função atinge um máximo relativo. Isso significa que, próximo a , a função alcança um valor maior do que nos pontos ao redor. - Em
, a função atinge um mínimo relativo, ou seja, é o menor valor próximo a esse ponto.
Passo 7
Finalmente, o exercício menciona que a função não tem máximos nem mínimos absolutos porque, quando
vai para
ou
,
também vai para
ou
, respectivamente. Isso significa que a função continua crescendo ou decrescendo sem limites, não se estabilizando em um valor máximo ou mínimo global.
Resposta
A função analisada não possui máximos nem mínimos absolutos, possui um máximo relativo em
e um mínimo relativo em
. Ela é crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
, exceto em
.
Exercícios relacionados
Análogo ao anterior.
não tem pontos críticos, sendo sempre crescente.