.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a função e o intervalo . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores máximos e mínimos dessa função dentro desse intervalo. Para isso, vamos precisar da derivada da função, que nos ajuda a encontrar onde a função pode atingir esses valores extremas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto e nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação é zero, ou seja, os pontos críticos.
Para derivar , aplicamos a regra de derivação para cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero:
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá as soluções:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:

Passo 4

Agora, temos três pontos críticos: , e . Mas precisamos verificar quais deles estão dentro do intervalo .
Dentre esses, está fora do intervalo, então vamos considerar apenas e .

Passo 5

Para encontrar os valores máximos e mínimos, vamos avaliar a função nos pontos críticos dentro do intervalo e também nos extremos do intervalo (ou seja, e ).
Vamos calcular para cada um desses valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Dentro do intervalo , a função atinge:
  • Mínimo em com
  • Máximo em com

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.
.
A função não tem máximo nem mínimo absolutos, pois . Seus pontos críticos são e , o primeiro de máximo, o segundo de mínimo, ambos relativos. Ela é crescente em e , e decrescente em .
. Ponto crítico em , de mínimo absoluto, pois a função é crescente em e decrescente em . Ela não tem máximo.