.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu a função
e o intervalo
. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores máximos e mínimos dessa função dentro desse intervalo. Para isso, vamos precisar da derivada da função, que nos ajuda a encontrar onde a função pode atingir esses valores extremas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto e nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação é zero, ou seja, os pontos críticos.
Para derivar
, aplicamos a regra de derivação para cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero:
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá as soluções:
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:
Passo 4
Agora, temos três pontos críticos:
,
e
. Mas precisamos verificar quais deles estão dentro do intervalo
.
Dentre esses,
está fora do intervalo, então vamos considerar apenas
e
.
Passo 5
Para encontrar os valores máximos e mínimos, vamos avaliar a função
nos pontos críticos dentro do intervalo e também nos extremos do intervalo (ou seja,
e
).
Vamos calcular
para cada um desses valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Dentro do intervalo
, a função
atinge:
- Mínimo em
com - Máximo em
com
Exercícios relacionados
A função não tem máximo nem mínimo absolutos, pois
. Seus pontos críticos são
e
, o primeiro de máximo, o segundo de mínimo, ambos relativos. Ela é crescente em
e
, e decrescente em
.