. Ponto crítico em , de mínimo absoluto, pois a função é crescente em e decrescente em . Ela não tem máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo diferencial juntos! A gente tem a derivada da função . Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e determinar se eles são mínimos ou máximos. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. No nosso caso, temos .
Vamos resolver :
Sabemos que nunca é zero, então a única solução vem de:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, vamos determinar a natureza desse ponto crítico. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de .
  • Para :
    Escolha um valor, por exemplo, :
    A derivada é negativa, então a função está decrescente nessa região.
  • Para :
    Escolha um valor, por exemplo, :
    A derivada é positiva, então a função está crescente nessa região.

Passo 4

Com base nessa análise, vemos que a função muda de decrescente para crescente quando passa por . Isso significa que em a função atinge um mínimo local.
Além disso, como a função está sempre crescente para e decrescente para , concluímos que esse é um mínimo absoluto. E como a função não apresenta outros extremos, ela não tem máximo.

Resposta

A função possui um ponto crítico em , que é um mínimo absoluto. A função é crescente para e decrescente para . Ela não apresenta máximo.

Exercícios relacionados

A função não tem máximo nem mínimo absolutos, pois . Seus pontos críticos são e , o primeiro de máximo, o segundo de mínimo, ambos relativos. Ela é crescente em e , e decrescente em .
.
Análogo ao anterior. não tem pontos críticos, sendo sempre crescente.