. Ponto crítico em
, de mínimo absoluto, pois a função é crescente em
e decrescente em
. Ela não tem máximo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo diferencial juntos! A gente tem a derivada da função
. Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e determinar se eles são mínimos ou máximos. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. No nosso caso, temos
.
Vamos resolver
:
Sabemos que
nunca é zero, então a única solução vem de:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a natureza desse ponto crítico. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de
.
-
Para
:
Escolha um valor, por exemplo,: A derivada é negativa, então a função está decrescente nessa região. -
Para
:
Escolha um valor, por exemplo,: A derivada é positiva, então a função está crescente nessa região.
Passo 4
Com base nessa análise, vemos que a função muda de decrescente para crescente quando passa por
. Isso significa que em
a função atinge um mínimo local.
Além disso, como a função está sempre crescente para
e decrescente para
, concluímos que esse é um mínimo absoluto. E como a função não apresenta outros extremos, ela não tem máximo.
Resposta
A função possui um ponto crítico em
, que é um mínimo absoluto. A função é crescente para
e decrescente para
. Ela não apresenta máximo.
Exercícios relacionados
A função não tem máximo nem mínimo absolutos, pois
. Seus pontos críticos são
e
, o primeiro de máximo, o segundo de mínimo, ambos relativos. Ela é crescente em
e
, e decrescente em
.
Análogo ao anterior.
não tem pontos críticos, sendo sempre crescente.