Análogo ao anterior.
não tem pontos críticos, sendo sempre crescente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Afirmamos que a função
não tem pontos críticos e que ela é sempre crescente. Isso nos leva a pensar sobre derivadas e comportamento das funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos, derivadas e como a monotonicidade (ser crescente) está relacionada com a derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre pontos críticos. Pontos críticos de uma função são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Eles são importantes porque indicam onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 3
Agora, considerando que a função
não tem pontos críticos, isso significa que a derivada de
, que chamaremos de
, nunca é zero e sempre existe. Em outras palavras,
para todo
no domínio de
.
Passo 4
Além disso, a função
é sempre crescente. Uma função é crescente em todo o seu domínio se, para qualquer
, temos
. Do ponto de vista da derivada, isso significa que
em todo lugar.
Passo 5
Então, combinando essas informações: já que
nunca tem pontos críticos e é sempre crescente, podemos concluir que a derivada de
é sempre positiva.
Resposta
A derivada de
satisfaz
para todo
no domínio de
.
Exercícios relacionados
A função não tem máximo nem mínimo absolutos, pois
. Seus pontos críticos são
e
, o primeiro de máximo, o segundo de mínimo, ambos relativos. Ela é crescente em
e
, e decrescente em
.
donde obtemos:
e
para
. Assim, o ângulo
tal que sen
é ponto de máximo. O mínimo deve ocorrer em
ou
; ocorrerá em
se
e em
se
.