Análogo ao anterior. não tem pontos críticos, sendo sempre crescente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Afirmamos que a função não tem pontos críticos e que ela é sempre crescente. Isso nos leva a pensar sobre derivadas e comportamento das funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos, derivadas e como a monotonicidade (ser crescente) está relacionada com a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre pontos críticos. Pontos críticos de uma função são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Eles são importantes porque indicam onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 3

Agora, considerando que a função não tem pontos críticos, isso significa que a derivada de , que chamaremos de , nunca é zero e sempre existe. Em outras palavras, para todo no domínio de .

Passo 4

Além disso, a função é sempre crescente. Uma função é crescente em todo o seu domínio se, para qualquer , temos . Do ponto de vista da derivada, isso significa que em todo lugar.

Passo 5

Então, combinando essas informações: já que nunca tem pontos críticos e é sempre crescente, podemos concluir que a derivada de é sempre positiva.

Resposta

A derivada de satisfaz para todo no domínio de .

Exercícios relacionados

. Ponto crítico em , de mínimo absoluto, pois a função é crescente em e decrescente em . Ela não tem máximo.
A função não tem máximo nem mínimo absolutos, pois . Seus pontos críticos são e , o primeiro de máximo, o segundo de mínimo, ambos relativos. Ela é crescente em e , e decrescente em .
donde obtemos: e para . Assim, o ângulo tal que sen é ponto de máximo. O mínimo deve ocorrer em ou ; ocorrerá em se e em se .