A função de onda para uma onda em uma corda tensa é:
y(x, t)=0,350 sen(3 pi x-10 pi t-pi4)
onde x e y estão dados em metros e t em segundos. Se a densidade de massa linear da corda é 75,0 g / m.
Qual é a energia contida em cada ciclo da onda?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a função de onda de uma corda tensa:
y(x, t) = 0,350 , sin(3 pi x - 10 pi t - pi4)
Aqui, $ x $ e $ y $ estão em metros, $ t $ em segundos, e a densidade de massa linear da corda $ \mu $ é $ 75,0 , g/m $. O que precisamos encontrar é a energia contida em cada ciclo da onda. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia de uma onda em uma corda, utilizando conceitos de física de ondas e matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros importantes da função de onda. A função geral de uma onda é dada por:
y(x, t) = A , sin(kx - omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude da onda,
  • $ k $ é o número de onda,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase.
Comparando com a nossa função:
A
Temos:
  • Amplitude $ A = 0,350 , m $,
  • Número de onda $ k = 3\pi , m^{-1} $,
  • Frequência angular $ \omega = 10\pi , rad/s $,
  • Fase $ \phi = -\frac{\pi}{4} $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a energia de uma onda em uma corda. A energia total por unidade de comprimento em uma onda é a soma das energias cinética e potencial. Para uma onda senoidal, a energia média por unidade de comprimento é dada por:
E = 12 mu omega^2 A^2
Onde:
  • $ \mu $ é a densidade de massa linear,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ A $ é a amplitude.
Mas como queremos a energia por ciclo, precisamos relacionar a energia por segundo (potência) com o período da onda.

Passo 4

Primeiro, vamos converter a densidade de massa linear $ \mu $ para unidades compatíveis. A densidade está dada em gramas por metro, então precisamos converter para kg/m:
mu

Passo 5

Em seguida, vamos usar a fórmula da energia média por unidade de comprimento:
Epor unidade = 12 mu omega^2 A^2
Substituindo os valores:
Epor unidade = 12 times 0,075 times (10pi)^2 times (0,350)^2

Passo 6

Vamos calcular cada parte passo a passo:
  1. Calcular $ \omega^2 $:
omega^2
  1. Calcular $ A^2 $:
(10pi)^2 = 100pi^2 approx 100 times 9,87 = 987 , rad^2/s^2
  1. Multiplicar todos os valores:
A^2
  1. Fazendo as multiplicações:
(0,350)^2 = 0,1225 , m^2
Então, a energia por unidade de comprimento é aproximadamente $ 4,537 , J/m $.

Passo 7

Agora, para encontrar a energia por ciclo, precisamos saber quantos metros correspondem a um ciclo da onda. O comprimento de onda $ \lambda $ está relacionado ao número de onda $ k $ pela fórmula:
lambda
Resolvendo para $ \lambda $:
k

Passo 8

Finalmente, multiplicamos a energia por unidade de comprimento pelo comprimento de um ciclo para obter a energia por ciclo:
Eciclo = Epor unidade times lambda = 4,537 times 23 approx 3,025 , J

Resposta

A energia contida em cada ciclo da onda é aproximadamente 3,03 J.

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