A função de onda para uma onda em uma corda tensa é:
onde
e
estão dados em metros e
em segundos. Se a densidade de massa linear da corda é
.
Qual é a energia contida em cada ciclo da onda?
Qual é a energia contida em cada ciclo da onda?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a função de onda de uma corda tensa:
Aqui, $ x $ e $ y $ estão em metros, $ t $ em segundos, e a densidade de massa linear da corda $ \mu $ é $ 75,0 , g/m $. O que precisamos encontrar é a energia contida em cada ciclo da onda. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia de uma onda em uma corda, utilizando conceitos de física de ondas e matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros importantes da função de onda. A função geral de uma onda é dada por:
Onde:
- $ A $ é a amplitude da onda,
- $ k $ é o número de onda,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase.
Comparando com a nossa função:
Temos:
- Amplitude $ A = 0,350 , m $,
- Número de onda $ k = 3\pi , m^{-1} $,
- Frequência angular $ \omega = 10\pi , rad/s $,
- Fase $ \phi = -\frac{\pi}{4} $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a energia de uma onda em uma corda. A energia total por unidade de comprimento em uma onda é a soma das energias cinética e potencial. Para uma onda senoidal, a energia média por unidade de comprimento é dada por:
Onde:
- $ \mu $ é a densidade de massa linear,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ A $ é a amplitude.
Mas como queremos a energia por ciclo, precisamos relacionar a energia por segundo (potência) com o período da onda.
Passo 4
Primeiro, vamos converter a densidade de massa linear $ \mu $ para unidades compatíveis. A densidade está dada em gramas por metro, então precisamos converter para kg/m:
Passo 5
Em seguida, vamos usar a fórmula da energia média por unidade de comprimento:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos calcular cada parte passo a passo:
- Calcular $ \omega^2 $:
- Calcular $ A^2 $:
- Multiplicar todos os valores:
- Fazendo as multiplicações:
Então, a energia por unidade de comprimento é aproximadamente $ 4,537 , J/m $.
Passo 7
Agora, para encontrar a energia por ciclo, precisamos saber quantos metros correspondem a um ciclo da onda. O comprimento de onda $ \lambda $ está relacionado ao número de onda $ k $ pela fórmula:
Resolvendo para $ \lambda $:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos a energia por unidade de comprimento pelo comprimento de um ciclo para obter a energia por ciclo:
Resposta
A energia contida em cada ciclo da onda é aproximadamente 3,03 J.