Seja a função de onda estacionária:
y(x, t)=ym cos (k x) sen(w t)
Usando os resultados de (a) e (b):
Calcule: 1v^2 partial^2 ypartial t^2-partial^2 ypartial x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda estacionária:
y(x, t) = ym cos(kx) sin(omega t)
Nos pede para calcular a expressão:
1v^2 partial^2 ypartial t^2 - partial^2 ypartial x^2
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais e conceitos de ondas. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas de funções trigonométricas e entender um pouquinho sobre a relação entre frequência, velocidade e número de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada da função y(x, t) em relação ao tempo t.
A função é:
y(x, t) = ym cos(kx) sin(omega t)
Derivando uma vez em relação a t:
partial ypartial t = ym cos(kx) cdot omega cos(omega t)
Agora, derivando novamente para obter a segunda derivada:
partial^2 ypartial t^2 = -ym cos(kx) cdot omega^2 sin(omega t)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de y(x, t) em relação ao espaço x.
Começando com a função:
y(x, t) = ym cos(kx) sin(omega t)
Derivando uma vez em relação a x:
partial ypartial x = -ym k sin(kx) sin(omega t)
Derivando novamente para a segunda derivada:
partial^2 ypartial x^2 = -ym k^2 cos(kx) sin(omega t)

Passo 4

Agora que temos as duas derivadas, vamos substituir na expressão que precisamos calcular:
1v^2 partial^2 ypartial t^2 - partial^2 ypartial x^2 = 1v^2 ( -ym cos(kx) omega^2 sin(omega t) ) - ( -ym k^2 cos(kx) sin(omega t) )
Simplificando os sinais:
= -omega^2v^2 ym cos(kx) sin(omega t) + ym k^2 cos(kx) sin(omega t)

Passo 5

Vamos fatorar os termos comuns para simplificar:
= ym cos(kx) sin(omega t) ( -omega^2v^2 + k^2 )
Agora, lembrando que em uma onda, a relação entre frequência angular omega, velocidade v e número de onda k é dada por:
v = omegak Rightarrow omega = v k
Substituindo omega na expressão:
-omega^2v^2 + k^2 = -v^2 k^2v^2 + k^2 = -k^2 + k^2 = 0

Resposta

1v^2 partial^2 ypartial t^2 - partial^2 ypartial x^2 = 0

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