Seja a função de onda estacionária:
Usando os resultados de (a) e (b):
Calcule:
.
Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda estacionária:
Nos pede para calcular a expressão:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais e conceitos de ondas. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas de funções trigonométricas e entender um pouquinho sobre a relação entre frequência, velocidade e número de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada da função
em relação ao tempo
.
A função é:
Derivando uma vez em relação a
:
Agora, derivando novamente para obter a segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao espaço
.
Começando com a função:
Derivando uma vez em relação a
:
Derivando novamente para a segunda derivada:
Passo 4
Agora que temos as duas derivadas, vamos substituir na expressão que precisamos calcular:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Vamos fatorar os termos comuns para simplificar:
Agora, lembrando que em uma onda, a relação entre frequência angular
, velocidade
e número de onda
é dada por:
Substituindo
na expressão: