Seja a função de onda estacionária:
Determine:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa função de onda estacionária:
O que precisamos fazer é encontrar a segunda derivada dessa função em relação ao tempo $ t $, ou seja, $ \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} $. Para isso, vamos usar noções de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de funções como essa que mistura $ x $ e $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que derivar uma função em relação a $ t $ significa calcular como a função muda quando $ t $ muda, mantendo $ x $ constante. Nossa função é:
Aqui, $ y_{m} $ e $ k $ são constantes, então podemos tratar $ y_{m} \cos(k x) $ como uma constante multiplicando a função $ \operatorname{sen}(w t) $.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de $ y $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{\partial y}{\partial t} $.
Sabemos que a derivada de $ \operatorname{sen}(w t) $ em relação a $ t $ é $ w \operatorname{cos}(w t) $. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} $.
Isso significa que vamos derivar novamente $ \frac{\partial y}{\partial t} $ em relação a $ t $. Já temos:
A derivada de $ \operatorname{cos}(w t) $ em relação a $ t $ é $ -w \operatorname{sen}(w t) $. Então:
Resposta
A segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $ é: