A função da onda harmônica:
é solução da equação de onda. Em aula mostramos que usando a onda eletromagnética como representando fótons podemos relacionar o número de onda
com a frequência
e a velocidade de propagação da onda. Chegamos na relação
. Desta forma, podemos relacionar a energia e momento do fóton ao relacionar a frequência com a energia e o momento com o comprimento de onda (lembre-se como o comprimento de onda se relaciona com o número de onda
).
Para uma onda de elétrons utilizamos as relações de De Broglie, que relacionam o momento com o comprimento de onda (
), e a energia com a frequência
, chegando em
ou
Agora vamos ver que o resultado acima sai diretamente da equação de Schrodinger para a função de onda do elétron, de um jeito análogo ao que fizemos com a onda eletromagnética. Considere
Usando como solução uma onda plana:
Mostre que a relação entre
e
é dada por:
(Você deve fazer o mesmo que foi feito para a onda do fóton: faça as derivadas parciais da solução e veja como se relacionam
e
).
Comente seu resultado. Considerando o potencial zero, veja como a velocidade do elétron (considerando o elétron como uma onda podemos pensar que
) depende do momento (escreva a velocidade em termos de
e relacione
com o momento). Para fóton, a velocidade é sempre constante.
Para uma onda de elétrons utilizamos as relações de De Broglie, que relacionam o momento com o comprimento de onda (
(Você deve fazer o mesmo que foi feito para a onda do fóton: faça as derivadas parciais da solução e veja como se relacionam
Comente seu resultado. Considerando o potencial zero, veja como a velocidade do elétron (considerando o elétron como uma onda podemos pensar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, ao usar uma onda plana como solução da equação de Schrödinger, a relação entre
e
é dada por:
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de equações diferenciais e daquelas fórmulas que ligam energia, momento e frequência. Basicamente, vamos substituir a onda plana na equação de Schrödinger e resolver pra encontrar como
e
estão relacionados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger que estamos trabalhando:
E a solução proposta é uma onda plana:
Aqui,
é a amplitude,
é o número de onda e
é a frequência angular.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Primeiro, a derivada segunda em relação a
:
E a derivada em relação ao tempo
:
Passo 4
Vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger:
Simplificando cada termo:
- O primeiro termo:
- O segundo termo:
- O lado direito:
Passo 5
Então, juntando tudo:
Como
é comum em todos os termos, podemos cancelar:
Rearranjando:
Passo 6
Pronto! Demonstramos que a relação entre
e
é exatamente essa:
Isso mostra como a energia (
) do elétron está relacionada com seu momento (via
) e o potencial
.
Passo 7
Agora, vamos comentar o resultado considerando que o potencial
é zero. Ficamos com:
Podemos dividir ambos os lados por
:
A velocidade do elétron, pensando como onda, é
:
Lembrando que o momento
, temos:
Isso mostra que a velocidade do elétron depende do seu momento.
Em contraste, para os fótons, que são partículas sem massa (
), a velocidade é sempre constante e igual à velocidade da luz
, independentemente do momento.
Resposta
A relação entre
e
é dada por:
Exercícios relacionados
Como obter informações de possíveis medidas a partir da função de onda?
Utilize a Propriedade dos Exponentes para reescrever e simplificar a expressão.
(a)
(a)
Utilize a Propriedade dos Exponentes para reescrever e simplificar a expressão.
(b)
(b)
Utilize a Propriedade dos Exponentes para reescrever e simplificar a expressão.
(b)
(b)