A função da onda harmônica:
f(x, t)=A sin (k x-omega t)
é solução da equação de onda. Em aula mostramos que usando a onda eletromagnética como representando fótons podemos relacionar o número de onda k com a frequência omega e a velocidade de propagação da onda. Chegamos na relação omega=k c. Desta forma, podemos relacionar a energia e momento do fóton ao relacionar a frequência com a energia e o momento com o comprimento de onda (lembre-se como o comprimento de onda se relaciona com o número de onda k ).
Para uma onda de elétrons utilizamos as relações de De Broglie, que relacionam o momento com o comprimento de onda ( p=hbar k ), e a energia com a frequência (E=hbar omega), chegando em
E=p^22 m+V
ou
hbar omega=hbar^2 k^22 m+V
Agora vamos ver que o resultado acima sai diretamente da equação de Schrodinger para a função de onda do elétron, de um jeito análogo ao que fizemos com a onda eletromagnética. Considere
-hbar^22 m partial^2 Psi(x, t)partial x+V Psi(x, t)=i hbar partial Psi(x, t)partial t
Usando como solução uma onda plana:
Psi(x, t)=A e^i(k x-omega t)
Mostre que a relação entre w e k é dada por: hbar omega=hbar^2 k^22 m+V
(Você deve fazer o mesmo que foi feito para a onda do fóton: faça as derivadas parciais da solução e veja como se relacionam k e omega ).
Comente seu resultado. Considerando o potencial zero, veja como a velocidade do elétron (considerando o elétron como uma onda podemos pensar que v=omegak ) depende do momento (escreva a velocidade em termos de k e relacione k com o momento). Para fóton, a velocidade é sempre constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, ao usar uma onda plana como solução da equação de Schrödinger, a relação entre omega e k é dada por:
hbar omega = hbar^2 k^22 m + V
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de equações diferenciais e daquelas fórmulas que ligam energia, momento e frequência. Basicamente, vamos substituir a onda plana na equação de Schrödinger e resolver pra encontrar como omega e k estão relacionados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger que estamos trabalhando:
-hbar^22 m partial^2 Psi(x, t)partial x^2 + V Psi(x, t) = i hbar partial Psi(x, t)partial t
E a solução proposta é uma onda plana:
Psi(x, t) = A e^i(k x - omega t)
Aqui, A é a amplitude, k é o número de onda e omega é a frequência angular.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função Psi(x, t) em relação a x e t. Primeiro, a derivada segunda em relação a x:
partial Psipartial x = i k A e^i(k x - omega t) partial^2 Psipartial x^2 = (i k)^2 A e^i(k x - omega t) = -k^2 A e^i(k x - omega t)
E a derivada em relação ao tempo t:
partial Psipartial t = -i omega A e^i(k x - omega t)

Passo 4

Vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger:
-hbar^22 m (-k^2 A e^i(k x - omega t)) + V A e^i(k x - omega t) = i hbar (-i omega A e^i(k x - omega t))
Simplificando cada termo:
  • O primeiro termo: -hbar^22 m (-k^2) A e^i(k x - omega t) = hbar^2 k^22 m A e^i(k x - omega t)
  • O segundo termo: V A e^i(k x - omega t)
  • O lado direito: i hbar (-i omega) A e^i(k x - omega t) = hbar omega A e^i(k x - omega t)

Passo 5

Então, juntando tudo:
hbar^2 k^22 m A e^i(k x - omega t) + V A e^i(k x - omega t) = hbar omega A e^i(k x - omega t)
Como A e^i(k x - omega t) é comum em todos os termos, podemos cancelar:
hbar^2 k^22 m + V = hbar omega
Rearranjando:
hbar omega = hbar^2 k^22 m + V

Passo 6

Pronto! Demonstramos que a relação entre omega e k é exatamente essa:
hbar omega = hbar^2 k^22 m + V
Isso mostra como a energia ( hbar omega) do elétron está relacionada com seu momento (via k) e o potencial V.

Passo 7

Agora, vamos comentar o resultado considerando que o potencial V é zero. Ficamos com:
hbar omega = hbar^2 k^22 m
Podemos dividir ambos os lados por hbar:
omega = hbar k^22 m
A velocidade do elétron, pensando como onda, é v = omegak:
v = hbar k^22 m k = hbar k2 m
Lembrando que o momento p = hbar k, temos:
v = p2 m
Isso mostra que a velocidade do elétron depende do seu momento.
Em contraste, para os fótons, que são partículas sem massa ( m = 0), a velocidade é sempre constante e igual à velocidade da luz c, independentemente do momento.

Resposta

A relação entre omega e k é dada por:
hbar omega = hbar^2 k^22 m + V

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