A função da onda harmônica:
é solução da equação de onda. Em aula mostramos que usando a onda eletromagnética como representando fótons podemos relacionar o número de onda com a frequência e a velocidade de propagação da onda. Chegamos na relação . Desta forma, podemos relacionar a energia e momento do fóton ao relacionar a frequência com a energia e o momento com o comprimento de onda (lembre-se como o comprimento de onda se relaciona com o número de onda ).
Para uma onda de elétrons utilizamos as relações de De Broglie, que relacionam o momento com o comprimento de onda ( ), e a energia com a frequência , chegando em
ou
Agora vamos ver que o resultado acima sai diretamente da equação de Schrodinger para a função de onda do elétron, de um jeito análogo ao que fizemos com a onda eletromagnética. Considere
Usando como solução uma onda plana:
Mostre que a relação entre e é dada por:
(Você deve fazer o mesmo que foi feito para a onda do fóton: faça as derivadas parciais da solução e veja como se relacionam e ).
Comente seu resultado. Considerando o potencial zero, veja como a velocidade do elétron (considerando o elétron como uma onda podemos pensar que ) depende do momento (escreva a velocidade em termos de e relacione com o momento). Para fóton, a velocidade é sempre constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, ao usar uma onda plana como solução da equação de Schrödinger, a relação entre e é dada por:
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de equações diferenciais e daquelas fórmulas que ligam energia, momento e frequência. Basicamente, vamos substituir a onda plana na equação de Schrödinger e resolver pra encontrar como e estão relacionados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger que estamos trabalhando:
E a solução proposta é uma onda plana:
Aqui, é a amplitude, é o número de onda e é a frequência angular.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . Primeiro, a derivada segunda em relação a :
E a derivada em relação ao tempo :

Passo 4

Vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger:
Simplificando cada termo:
  • O primeiro termo:
  • O segundo termo:
  • O lado direito:

Passo 5

Então, juntando tudo:
Como é comum em todos os termos, podemos cancelar:
Rearranjando:

Passo 6

Pronto! Demonstramos que a relação entre e é exatamente essa:
Isso mostra como a energia ( ) do elétron está relacionada com seu momento (via ) e o potencial .

Passo 7

Agora, vamos comentar o resultado considerando que o potencial é zero. Ficamos com:
Podemos dividir ambos os lados por :
A velocidade do elétron, pensando como onda, é :
Lembrando que o momento , temos:
Isso mostra que a velocidade do elétron depende do seu momento.
Em contraste, para os fótons, que são partículas sem massa ( ), a velocidade é sempre constante e igual à velocidade da luz , independentemente do momento.

Resposta

A relação entre e é dada por:

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Como obter informações de possíveis medidas a partir da função de onda?
Utilize a Propriedade dos Exponentes para reescrever e simplificar a expressão.
(a)
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(b)
Utilize a Propriedade dos Exponentes para reescrever e simplificar a expressão.
(b)