A função de onda radial para o orbital 4 d do átomo de hidrogênio é
R42(r)=(a0)^2 / 396 raiz5(6-12 a0 r) cdot 14 a0^2 r^2 cdot exp (-14 a0 r)
Calcule a distância mais provável do elétron em relação ao núcleo atômico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a distância mais provável do elétron em relação ao núcleo no orbital 4d do átomo de hidrogênio. Aqui, vamos usar conceitos de funções de onda e probabilidade na mecânica quântica. Para isso, a gente precisa entender como a função de onda radial se relaciona com a probabilidade de encontrar o elétron a uma certa distância do núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância mais provável é o valor de r que maximiza a densidade de probabilidade P(r). A densidade de probabilidade é dada por:
P(r) = |R42(r)|^2 cdot r^2
Aqui, R42(r) é a função de onda radial para o orbital 4d.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o valor de r que maximiza P(r). Para isso, vamos derivar P(r) em relação a r e igualar a derivada a zero:
dP(r)dr = 0
Esse é o ponto onde a função P(r) atinge seu máximo.

Passo 4

Vamos começar calculando P(r):
P(r) = [ a0^2/396 raiz5 (6 - 12a0 r) cdot 14a0^2 r^2 cdot exp(-14a0 r) ]^2 cdot r^2
Simplificando isso pode ficar bem complicado, então vamos focar em derivar a expressão de forma mais manejável.

Passo 5

Para encontrar a derivada, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Porém, para simplificar, podemos ignorar as constantes que não dependem de r, já que estamos interessados em encontrar o ponto onde a derivada é zero.
Portanto, consideramos apenas a parte que varia com r:
P(r) propto (6 - 12a0 r)^2 cdot r^4 cdot exp(-12a0 r)

Passo 6

Agora, vamos derivar P(r) em relação a r:
dP(r)dr = 0
Aplicando a derivada, temos:
2(6 - 12a0 r)(-12a0) cdot r^4 cdot e^-12a0 r + (6 - 12a0 r)^2 cdot 4r^3 cdot e^-12a0 r - (6 - 12a0 r)^2 cdot r^4 cdot 12a0 e^-12a0 r = 0
Isso fica meio pesado, mas podemos simplificar dividindo todos os termos por (6 - 12a0 r) cdot r^3 cdot e^-12a0 r:
-1a0 r + 4(6 - 12a0 r) - 12a0 r = 0

Passo 7

Simplificando a equação:
-1a0 r + 24 - 2a0 r - 12a0 r = 0
Somando os termos com r:
-1a0 r - 2a0 r - 12a0 r + 24 = 0
-3.5a0 r + 24 = 0

Passo 8

Agora, isolamos r:
3.5a0 r = 24
r = 24 a03.5
Simplificando:
r = 487 a0 approx 6.857 a0

Resposta

A distância mais provável do elétron em relação ao núcleo é aproximadamente 6.86, a0.

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