A função posição x(t) de uma partícula que está se movendo ao longo do eixo x é x = 4,0 – 6,0t2, com x em metros e t em segundos. (a) Em que instante e (b) em que posição a partícula pára (momentaneamente)? Em que © instante negativo e (d) instante positivo a partícula passa pela origem? (e) Plote o gráfico de x em função de t para intervalo de -5 s a +5 s. (f) Para deslocar a curva para a direita no gráfico, devemos acrescentar o termo +20t ou o termo -20t a x(t)? (g) Essa modificação aumenta ou diminui o valor de x para o qual a partícula pára momentaneamente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem considerar suas causas. A função posição dada é $ x(t) = 4,0 - 6,0t^2 $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Para resolver os itens pedidos, vamos precisar entender como encontrar instantes específicos de movimento, como o momento em que a partícula para, quando ela passa pela origem, além de manipular essa função para obter gráficos e analisar modificações na curva.

Passo 2

Começando pelo item (a): Em que instante a partícula para momentaneamente?
Quando uma partícula para momentaneamente, sua velocidade é zero nesse instante. Para encontrar isso, precisamos primeiro encontrar a velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo.
A função posição é:
x(t) = 4,0 - 6,0t^2
A velocidade $ v(t) $ é:
v(t)
Agora, igualamos a velocidade a zero para encontrar o instante em que a partícula para:
v(t) = dxdt = ddt(4,0 - 6,0t^2) = -12,0t
-12,0t = 0

Passo 3

Passando para o item (b): Em que posição a partícula para momentaneamente?
Já sabemos que a partícula para em $ t = 0 $ segundos. Para encontrar a posição nesse instante, substituímos $ t = 0 $ na função posição:
t = 0

Passo 4

No item ©: Em que instante negativo a partícula passa pela origem?
Passar pela origem significa que $ x(t) = 0 $. Vamos resolver para $ t $:
x(t) = 0
t
0 = 4,0 - 6,0t^2
6,0t^2 = 4,0
t^2 = 4,06,0
t^2 = 23
Como queremos o instante negativo:
t = pm raiz23

Passo 5

Agora, o item (d): Em que instante positivo a partícula passa pela origem?
Já resolvemos a equação e encontramos dois valores de $ t $:
t
t approx -0,8165 , segundos
O instante positivo é:
t approx +0,8165 , segundos

Passo 6

Para o item (e): Plotar o gráfico de $ x $ em função de $ t $ para o intervalo de -5 s a +5 s.
Vamos descrever como seria esse gráfico:
A função $ x(t) = 4,0 - 6,0t^2 $ é uma parábola voltada para baixo (já que o coeficiente de $ t^2 $ é negativo). O vértice da parábola está em $ t = 0 $, $ x = 4,0 $. A parábola intercepta o eixo $ x $ nos pontos $ t \approx \pm0,8165 $ segundos.
No intervalo de -5 s a +5 s, o gráfico mostrará a posição diminuindo à medida que $ |t| $ aumenta, formando uma curva simétrica em relação ao $ t = 0 $.
Como não posso desenhar aqui, recomendo usar um software gráfico ou uma calculadora para plotar essa função.

Passo 7

Passando para o item (f): Para deslocar a curva para a direita no gráfico, devemos acrescentar o termo +20t ou o termo -20t a $ x(t) $?
Deslocar a curva para a direita significa que todos os pontos do gráfico se movem na direção positiva do eixo $ t $. Para isso, precisamos substituir $ t $ por $ t - \Delta t $, onde $ \Delta t $ é o deslocamento desejado.
No entanto, se quisermos apenas adicionar um termo linear, adicionar $ +20t $ ou $ -20t $ vai alterar a inclinação da curva, mas não necessariamente deslocá-la para a direita.
Para deslocar a curva para a direita, precisamos modificar a função original para:
x(t)
Onde $ h $ é o deslocamento para a direita.
Entretanto, se tivermos que escolher entre adicionar $ +20t $ ou $ -20t $, adicionando $ -20t $ aumentaria os valores de $ t $, efetivamente deslocando a curva para a direita.

Passo 8

Finalmente, o item (g): Essa modificação aumenta ou diminui o valor de $ x $ para o qual a partícula pára momentaneamente?
Originalmente, a partícula para em $ x = 4,0 $ metros. Se deslocarmos a curva para a direita adicionando $ -20t $, a nova função será:
x
Para encontrar onde a partícula para momentaneamente nessa nova função, calculamos a velocidade:
x = 4,0
Igualando a zero:
-20t
xmodificada(t) = 4,0 - 6,0t^2 - 20t
v(t) = dxdt = -12,0t -20
-12,0t -20 = 0
Substituindo esse $ t $ na função modificada:
-12,0t = 20
t = -2012,0
t approx -1,6667 , segundos
t
Então, o valor de $ x $ para o qual a partícula pára momentaneamente aumenta com a modificação.

Resposta

(a) A partícula para momentaneamente em $ t = 0 $ segundos.
(b) A posição em que a partícula para é $ x = 4,0 $ metros.
© A partícula passa pela origem no instante negativo $ t \approx -0,8165 $ segundos.
(d) A partícula passa pela origem no instante positivo $ t \approx +0,8165 $ segundos.
(e) O gráfico de $ x $ em função de $ t $ é uma parábola voltada para baixo, com vértice em $ (0, 4,0) $ e interceptações no eixo $ t $ em aproximadamente $ t = \pm0,8165 $ segundos, no intervalo de -5 s a +5 s.
(f) Para deslocar a curva para a direita no gráfico, devemos acrescentar o termo $ -20t $ a $ x(t) $.
(g) Essa modificação aumenta o valor de $ x $ para o qual a partícula pára momentaneamente, passando de 4,0 metros para aproximadamente 20,6666 metros.

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