Uma onda senoidal é produzida em uma corda com uma massa específica linear de 2 g/cm. Enquanto a onda se propaga, a energia cinética dos elementos de massa ao longo da corda varia. A imagem mostra a taxa dK/dt com a qual energia cinética passa pelos elementos de massa da corda em um certo instante em função da distância x ao longo da corda. A imagem b é semelhante, exceto pelo fato de que mostra a taxa com a qual a energia cinética passa por um determinado elemento de massa (situado em um certo ponto da corda) em função do tempo t. Nos dois casos, a escala do eixo vertical é definida por R = 10W. Qual é a amplitude da onda?
Passo 1
Então, temos um exercício sobre ondas em uma corda. A corda tem uma massa específica linear de 2 g/cm, e queremos encontrar a amplitude da onda senoidal que está passando por ela. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia cinética se relaciona com a amplitude da onda e usar fórmulas da física das ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a massa específica linear para unidades mais amigáveis. A massa específica é dada como 2 g/cm. Como 1 g/cm = 0,01 kg/m, então:
Passo 3
Sabemos que a taxa de transferência de energia cinética $ \frac{dK}{dt} $ está relacionada à energia da onda. A energia cinética por unidade de comprimento para uma onda senoidal é dada por:
Onde:
- $ \mu $ é a massa específica linear,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ A $ é a amplitude da onda.
Passo 4
A taxa de variação da energia cinética com o tempo $ \frac{dK}{dt} $ é igual à potência $ P $ transmitida pela onda. Pelo enunciado, sabemos que essa potência é $ R = 10 , W $. Então:
Passo 5
Substituindo a expressão de $ K $ na equação da potência:
Agora, precisamos isolar a amplitude $ A $.
Passo 6
Rearranjando a equação para resolver $ A $:
Passo 7
Neste ponto, precisamos conhecer a frequência angular $ \omega $ da onda para calcular $ A $. Porém, o enunciado não forneceu essa informação diretamente. Geralmente, $ \omega $ pode ser relacionada à velocidade da onda $ v $ e ao comprimento de onda $ \lambda $ por:
Sem informações adicionais sobre $ v $ ou $ \lambda $, podemos expressar a amplitude em termos de $ \omega $:
Resposta
A amplitude da onda é aproximadamente $ \frac{31,62}{\omega} $ metros, onde $ \omega $ é a frequência angular da onda.