A função de probabilidade conjunta de e é dada por
Encontre as funções de probabilidade de , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A questão nos dá a função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, e . Nosso objetivo é encontrar as funções de probabilidade para as combinações , , e . Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade conjunta e marginal, além de entender como combinar essas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as combinações possíveis de e com suas respectivas probabilidades. De acordo com o enunciado:
Isso significa que temos as seguintes combinações:
com probabilidade
com probabilidade
com probabilidade
com probabilidade
Passo 3
Vamos começar encontrando a função de probabilidade para . Isso significa que vamos somar os valores de e para cada combinação e calcular a probabilidade de cada soma.
As possíveis somas são:
Agora, vamos agrupar as probabilidades:
Então, a função de probabilidade de é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função de probabilidade para X-Y. Isso significa que vamos subtrair Y de X para cada combinação e calcular a probabilidade de cada diferença.
As possíveis diferenças são:
1 - 1 = 0
1 - 2 = -1
2 - 1 = 1
2 - 2 = 0
Vamos agrupar as probabilidades:
P(X-Y=-1) = 14
P(X-Y=0) = 18 + 12 = 58
P(X-Y=1) = 18
Então, a função de probabilidade de X-Y é:
pX-Y(w) = 14 & se w=-1 58 & se w=0 18 & se w=1 0 & caso contrário á
Passo 5
Vamos agora determinar a função de probabilidade para XY. Isso envolve multiplicar os valores de X e Y para cada combinação e calcular a probabilidade de cada produto.
Os possíveis produtos são:
1 times 1 = 1
1 times 2 = 2
2 times 1 = 2
2 times 2 = 4
Vamos agrupar as probabilidades:
P(XY=1) = 18
P(XY=2) = 14 + 18 = 38
P(XY=4) = 12
Então, a função de probabilidade de XY é:
pXY(v) = 18 & se v=1 38 & se v=2 12 & se v=4 0 & caso contrário á
Passo 6
Por último, vamos encontrar a função de probabilidade para X/Y. Aqui, vamos dividir X por Y para cada combinação e calcular a probabilidade de cada quociente.
Os possíveis quocientes são:
1 / 1 = 1
1 / 2 = 0.5
2 / 1 = 2
2 / 2 = 1
Vamos agrupar as probabilidades:
P(X/Y=0.5) = 14
P(X/Y=1) = 18 + 12 = 58
P(X/Y=2) = 18
Então, a função de probabilidade de X/Y é:
pX/Y(u) = 14 & se u=0.5 58 & se u=1 18 & se u=2 0 & caso contrário á
Resposta
As funções de probabilidade são:
Para X+Y:
pX+Y(z) = 18 & z=2 38 & z=3 12 & z=4 0 & caso contrário á
Para X-Y:
pX-Y(w) = 14 & w=-1 58 & w=0 18 & w=1 0 & caso contrário á
Para XY:
pXY(v) = 18 & v=1 38 & v=2 12 & v=4 0 & caso contrário á
Para X/Y:
pX/Y(u) = 14 & u=0.5 58 & u=1 18 & u=2 0 & caso contrário á