A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada por
ll p(1,1)=18 & p(1,2)=14 p(2,1)=18 & p(2,2)=12
Encontre as funções de probabilidade de X+Y, X-Y, XY e X/Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A questão nos dá a função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, X e Y. Nosso objetivo é encontrar as funções de probabilidade para as combinações X+Y, X-Y, XY e X/Y. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade conjunta e marginal, além de entender como combinar essas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as combinações possíveis de X e Y com suas respectivas probabilidades. De acordo com o enunciado:
ll p(1,1)=18 & p(1,2)=14 p(2,1)=18 & p(2,2)=12
Isso significa que temos as seguintes combinações:
  • (1,1) com probabilidade 18
  • (1,2) com probabilidade 14
  • (2,1) com probabilidade 18
  • (2,2) com probabilidade 12

Passo 3

Vamos começar encontrando a função de probabilidade para X+Y. Isso significa que vamos somar os valores de X e Y para cada combinação e calcular a probabilidade de cada soma.
As possíveis somas são:
  • 1 + 1 = 2
  • 1 + 2 = 3
  • 2 + 1 = 3
  • 2 + 2 = 4
Agora, vamos agrupar as probabilidades:
  • P(X+Y=2) = 18
  • P(X+Y=3) = 14 + 18 = 38
  • P(X+Y=4) = 12
Então, a função de probabilidade de X+Y é:
pX+Y(z) = 18 & se z=2 38 & se z=3 12 & se z=4 0 & caso contrário á

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função de probabilidade para X-Y. Isso significa que vamos subtrair Y de X para cada combinação e calcular a probabilidade de cada diferença.
As possíveis diferenças são:
  • 1 - 1 = 0
  • 1 - 2 = -1
  • 2 - 1 = 1
  • 2 - 2 = 0
Vamos agrupar as probabilidades:
  • P(X-Y=-1) = 14
  • P(X-Y=0) = 18 + 12 = 58
  • P(X-Y=1) = 18
Então, a função de probabilidade de X-Y é:
pX-Y(w) = 14 & se w=-1 58 & se w=0 18 & se w=1 0 & caso contrário á

Passo 5

Vamos agora determinar a função de probabilidade para XY. Isso envolve multiplicar os valores de X e Y para cada combinação e calcular a probabilidade de cada produto.
Os possíveis produtos são:
  • 1 times 1 = 1
  • 1 times 2 = 2
  • 2 times 1 = 2
  • 2 times 2 = 4
Vamos agrupar as probabilidades:
  • P(XY=1) = 18
  • P(XY=2) = 14 + 18 = 38
  • P(XY=4) = 12
Então, a função de probabilidade de XY é:
pXY(v) = 18 & se v=1 38 & se v=2 12 & se v=4 0 & caso contrário á

Passo 6

Por último, vamos encontrar a função de probabilidade para X/Y. Aqui, vamos dividir X por Y para cada combinação e calcular a probabilidade de cada quociente.
Os possíveis quocientes são:
  • 1 / 1 = 1
  • 1 / 2 = 0.5
  • 2 / 1 = 2
  • 2 / 2 = 1
Vamos agrupar as probabilidades:
  • P(X/Y=0.5) = 14
  • P(X/Y=1) = 18 + 12 = 58
  • P(X/Y=2) = 18
Então, a função de probabilidade de X/Y é:
pX/Y(u) = 14 & se u=0.5 58 & se u=1 18 & se u=2 0 & caso contrário á

Resposta

As funções de probabilidade são:
Para X+Y:
pX+Y(z) = 18 & z=2 38 & z=3 12 & z=4 0 & caso contrário á
Para X-Y:
pX-Y(w) = 14 & w=-1 58 & w=0 18 & w=1 0 & caso contrário á
Para XY:
pXY(v) = 18 & v=1 38 & v=2 12 & v=4 0 & caso contrário á
Para X/Y:
pX/Y(u) = 14 & u=0.5 58 & u=1 18 & u=2 0 & caso contrário á

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