Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por o valor observado neste lançamento.
Encontre , e 1,2,3,4, …

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade relacionado a lançamentos de um dado justo. Precisamos encontrar a probabilidade conjunta de que sejam necessários exatamente lançamentos para obter um número diferente de 6, e que esse número observado no -ésimo lançamento seja , onde e . Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e distribuição geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que os primeiros lançamentos resultaram em 6, e no -ésimo lançamento, obtivemos um número diferente de 6. Como o dado é justo, a probabilidade de sair 6 em qualquer lançamento é , e a probabilidade de sair qualquer outro número (1, 2, 3, 4 ou 5) é .

Passo 3

Agora, queremos que no -ésimo lançamento, além de sair um número diferente de 6, esse número específico seja . Como pode ser 1, 2, 3, 4 ou 5, a probabilidade de sair exatamente no último lançamento é , já que há 5 opções igualmente prováveis além do 6.

Passo 4

Então, para encontrar , precisamos multiplicar a probabilidade de ocorrerem lançamentos de 6 seguidos pela probabilidade de sair exatamente no -ésimo lançamento. Matematicamente, isso fica:

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
Isso mostra que a probabilidade conjunta decresce exponencialmente conforme o número de lançamentos aumenta.

Resposta

A probabilidade conjunta é dada por:

Exercícios relacionados

Determine a probabilidade de escolhermos: Uma pessoa do sexo masculino e sem opinião sobre a reforma agrária;
Período Sexo Reforma Agrária
Contra A Favor Sem Opinião
Diurno Feminino 2 8 2
Masculino 8 9 8
Noturno Feminino 4 8 2
Masculino 12 10 1
A função de probabilidade conjunta de e é dada por
Encontre as funções de probabilidade de , e .
Os tubos de imagem de aparelhos de televisão fabricados pela indústria A têm vida útil média de 6,5 anos e variância de 0,81 (anos) , enquanto aqueles fabricados pela indústria B têm vida útil média de 6,0 anos e variância de 0,64 (anos) . Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 36 tubos do fabricante A tenha vida útil média de pelo menos um ano a mais do que a vida útil média de uma amostra aleatória de 49 tubos do fabricante B.
Mostre que se e independentes, então . Lembre-se que