Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por
o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por
o valor observado neste lançamento.
Encontre
,
e
1,2,3,4, …
Encontre
Passo 1
Vamos resolver um problema de probabilidade relacionado a lançamentos de um dado justo. Precisamos encontrar a probabilidade conjunta de que sejam necessários exatamente
lançamentos para obter um número diferente de 6, e que esse número observado no
-ésimo lançamento seja
, onde
e
. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e distribuição geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que os primeiros
lançamentos resultaram em 6, e no
-ésimo lançamento, obtivemos um número diferente de 6. Como o dado é justo, a probabilidade de sair 6 em qualquer lançamento é
, e a probabilidade de sair qualquer outro número (1, 2, 3, 4 ou 5) é
.
Passo 3
Agora, queremos que no
-ésimo lançamento, além de sair um número diferente de 6, esse número específico seja
. Como
pode ser 1, 2, 3, 4 ou 5, a probabilidade de sair exatamente
no último lançamento é
, já que há 5 opções igualmente prováveis além do 6.
Passo 4
Então, para encontrar
, precisamos multiplicar a probabilidade de ocorrerem
lançamentos de 6 seguidos pela probabilidade de sair exatamente
no
-ésimo lançamento. Matematicamente, isso fica:
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Isso mostra que a probabilidade conjunta decresce exponencialmente conforme o número de lançamentos
aumenta.
Resposta
A probabilidade conjunta é dada por:
Exercícios relacionados
Determine a probabilidade de escolhermos: Uma pessoa do sexo masculino e sem opinião sobre a reforma agrária;
Período | Sexo | Reforma Agrária | ||
---|---|---|---|---|
Contra | A Favor | Sem Opinião | ||
Diurno | Feminino | 2 | 8 | 2 |
Masculino | 8 | 9 | 8 | |
Noturno | Feminino | 4 | 8 | 2 |
Masculino | 12 | 10 | 1 |
A função de probabilidade conjunta de
e
é dada por
Encontre as funções de probabilidade de
,
e
.
Os tubos de imagem de aparelhos de televisão fabricados pela indústria A têm vida útil média de 6,5 anos e variância de 0,81 (anos)
, enquanto aqueles fabricados pela indústria B têm vida útil média de 6,0 anos e variância de 0,64 (anos)
. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 36 tubos do fabricante A tenha vida útil média de pelo menos um ano a mais do que a vida útil média de uma amostra aleatória de 49 tubos do fabricante B.
Mostre que se
e
independentes, então
. Lembre-se que