Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por
o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por
o valor observado neste lançamento.
Encontre
,
e
1,2,3,4, …
Encontre
Passo 1
Vamos resolver um problema de probabilidade relacionado a lançamentos de um dado justo. Precisamos encontrar a probabilidade conjunta de que sejam necessários exatamente
lançamentos para obter um número diferente de 6, e que esse número observado no
-ésimo lançamento seja
, onde
e
. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e distribuição geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que os primeiros
lançamentos resultaram em 6, e no
-ésimo lançamento, obtivemos um número diferente de 6. Como o dado é justo, a probabilidade de sair 6 em qualquer lançamento é
, e a probabilidade de sair qualquer outro número (1, 2, 3, 4 ou 5) é
.
Passo 3
Agora, queremos que no
-ésimo lançamento, além de sair um número diferente de 6, esse número específico seja
. Como
pode ser 1, 2, 3, 4 ou 5, a probabilidade de sair exatamente
no último lançamento é
, já que há 5 opções igualmente prováveis além do 6.
Passo 4
Então, para encontrar
, precisamos multiplicar a probabilidade de ocorrerem
lançamentos de 6 seguidos pela probabilidade de sair exatamente
no
-ésimo lançamento. Matematicamente, isso fica:
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Isso mostra que a probabilidade conjunta decresce exponencialmente conforme o número de lançamentos
aumenta.
Resposta
A probabilidade conjunta é dada por: