Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por N o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por X o valor observado neste lançamento.
Encontre P(N=k, X=i), i=1,2,3,4,5 e k= 1,2,3,4, …

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade relacionado a lançamentos de um dado justo. Precisamos encontrar a probabilidade conjunta de que sejam necessários exatamente lançamentos para obter um número diferente de 6, e que esse número observado no -ésimo lançamento seja , onde e . Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e distribuição geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que os primeiros lançamentos resultaram em 6, e no -ésimo lançamento, obtivemos um número diferente de 6. Como o dado é justo, a probabilidade de sair 6 em qualquer lançamento é , e a probabilidade de sair qualquer outro número (1, 2, 3, 4 ou 5) é .

Passo 3

Agora, queremos que no -ésimo lançamento, além de sair um número diferente de 6, esse número específico seja . Como pode ser 1, 2, 3, 4 ou 5, a probabilidade de sair exatamente no último lançamento é , já que há 5 opções igualmente prováveis além do 6.

Passo 4

Então, para encontrar P(N = k, X = i) = ( 16 )^k-1 times 16 , precisamos multiplicar a probabilidade de ocorrerem lançamentos de 6 seguidos pela probabilidade de sair exatamente no -ésimo lançamento. Matematicamente, isso fica:

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
P(N = k, X = i) = 16^k
Isso mostra que a probabilidade conjunta decresce exponencialmente conforme o número de lançamentos aumenta.

Resposta

A probabilidade conjunta é dada por:
P(N = k, X = i) = 16^k, i = 1, 2, 3, 4, 5 e k = 1, 2, 3, ldots

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