Uma indústria eletrônica fabrica resistores sendo que a resistência ( X ), em Omega, é uma variável aleatória tal que: X sim N (100,0; 100,0). Qual a probabilidade de uma amostra aleatória de 25 resistores ter uma resistência média menor que 95,0 Omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que uma fábrica produz resistores cuja resistência (chamamos de ) segue uma distribuição normal com média ohms e variância . Ou seja, . Queremos saber qual a probabilidade de, quando pegarmos uma amostra de 25 resistores, a média das resistências dessa amostra ser menor que ohms. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre distribuição da média amostral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a média de uma amostra se comporta. Se cada resistor tem uma média X sim N(100, 10025) = N(100, 4) e variância , a média da amostra ( ) de 25 resistores também segue uma distribuição normal, mas com média igual a e variância igual a . Então, temos que:
Isso significa que a média da amostra tem uma média de 100 ohms e um desvio padrão de ohms.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de z = X - musigmaX . Para isso, vamos padronizar essa variável usando o escore-z, que nos ajuda a encontrar probabilidades em tabelas de distribuição normal padrão. A fórmula do escore-z é:
z = 95 - 1002 = -52 = -2,5
Substituindo os valores:

Passo 4

Com o escore-z calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a P(z < -2,5) approx 0,0062 na tabela da distribuição normal padrão. Olhando na tabela, vemos que:
Isso significa que há aproximadamente 0,62% de chance de a média das resistências de uma amostra de 25 resistores ser menor que 95 ohms.

Resposta

A probabilidade de uma amostra aleatória de 25 resistores ter uma resistência média menor que é aproximadamente .

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