A quantidade de tempo que uma pessoa gasta esperando na fila de um banco é uma variável aleatória com média de 8,2 minutos e variância de 2,25 (minutos)
. Suponha que uma amostra aleatória de 49 clientes deste banco seja observada. Encontre a probabilidade de que o tempo médio de espera na fila para esses clientes seja:
a) Menor que 10 minutos;
a) Menor que 10 minutos;
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o tempo que uma pessoa espera na fila de um banco. A média desse tempo é de 8,2 minutos e a variância é de 2,25 minutos ao quadrado. A gente vai observar uma amostra de 49 clientes e quer descobrir qual a probabilidade do tempo médio de espera dessa amostra ser menor que 10 minutos. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre a distribuição da média amostral, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando temos uma média amostral, ela também tem uma distribuição. Essa distribuição tem uma média igual à média da população, que no caso é 8,2 minutos, e um desvio padrão que a gente calcula usando a variância da população dividida pelo tamanho da amostra. Então, vamos calcular o desvio padrão da média amostral.
Passo 3
A variância da média amostral é dada por:
Onde:
-
é a variância da população, que é 2,25. -
é o tamanho da amostra, que é 49.
Então,
O desvio padrão da média amostral (
) é a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que o tempo médio de espera seja menor que 10 minutos. Para isso, vamos transformar o valor de 10 minutos em um escore Z, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal.
A fórmula para calcular o escore Z é:
Onde:
-
é o valor que queremos testar, que é 10. -
é a média da população, que é 8,2. -
é o desvio padrão da média amostral, que calculamos como aproximadamente 0,214.
Então,
Passo 5
Com o escore Z calculado, consultamos uma tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente. Porém, um Z de 8,41 é extremamente alto e praticamente toda a área da distribuição normal padrão está abaixo desse valor.
Resposta
A probabilidade de que o tempo médio de espera na fila seja menor que 10 minutos é praticamente 100%.