A quantidade de tempo que uma pessoa gasta esperando na fila de um banco é uma variável aleatória com média de 8,2 minutos e variância de 2,25 (minutos) ^2. Suponha que uma amostra aleatória de 49 clientes deste banco seja observada. Encontre a probabilidade de que o tempo médio de espera na fila para esses clientes seja:
a) Menor que 10 minutos;

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o tempo que uma pessoa espera na fila de um banco. A média desse tempo é de 8,2 minutos e a variância é de 2,25 minutos ao quadrado. A gente vai observar uma amostra de 49 clientes e quer descobrir qual a probabilidade do tempo médio de espera dessa amostra ser menor que 10 minutos. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre a distribuição da média amostral, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando temos uma média amostral, ela também tem uma distribuição. Essa distribuição tem uma média igual à média da população, que no caso é 8,2 minutos, e um desvio padrão que a gente calcula usando a variância da população dividida pelo tamanho da amostra. Então, vamos calcular o desvio padrão da média amostral.

Passo 3

A variância da média amostral é dada por:
sigmabarX^2 = sigma^2n
Onde:
  • sigma^2 é a variância da população, que é 2,25.
  • n é o tamanho da amostra, que é 49.
Então,
sigmabarX^2 = 2,2549 = 0,0459
O desvio padrão da média amostral ( sigmabarX) é a raiz quadrada da variância:
sigmabarX = raiz0,0459 approx 0,214

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que o tempo médio de espera seja menor que 10 minutos. Para isso, vamos transformar o valor de 10 minutos em um escore Z, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal.
A fórmula para calcular o escore Z é:
Z = barX - musigmabarX
Onde:
  • barX é o valor que queremos testar, que é 10.
  • mu é a média da população, que é 8,2.
  • sigmabarX é o desvio padrão da média amostral, que calculamos como aproximadamente 0,214.
Então,
Z = 10 - 8,20,214 approx 1,80,214 approx 8,41

Passo 5

Com o escore Z calculado, consultamos uma tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente. Porém, um Z de 8,41 é extremamente alto e praticamente toda a área da distribuição normal padrão está abaixo desse valor.

Resposta

A probabilidade de que o tempo médio de espera na fila seja menor que 10 minutos é praticamente 100%.

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