O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória N com distribuição de Poisson de média lambda>0. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade p de ser local e 1-p de ser internacional ou interurbana. Seja N1 o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e N2 o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que N1 e N2 são independentes, e têm distribuição de Poisson de média lambda p e lambda(1-p), respectivamente, siga os passos abaixo.
a) Mostre que
P(N1=i, N2=j)=P(N1=i, N2=j mid N=i+j) P(N=i+j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que estamos vendo aqui é um problema de Processos de Poisson, que é uma parte da probabilidade. A gente tem uma torre de celular que recebe chamadas durante uma hora, e o total de chamadas segue uma distribuição de Poisson com média lambda. Cada chamada tem uma chance p de ser local e 1-p de ser internacional ou interurbana.
Queremos mostrar que o número de chamadas locais ( N1) e o número de chamadas internacionais ou interurbanas ( N2) são independentes e também seguem distribuições de Poisson com médias ajustadas. No item a), especificamente, precisamos provar uma relação entre as probabilidades conjuntas dessas variáveis aleatórias.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que precisa ser provado:
P(N1=i, N2=j) = P(N1=i, N2=j mid N=i+j) P(N=i+j)
Isso é uma aplicação direta da fórmula da probabilidade condicional, que diz que:
P(A, B) = P(A, B mid C) P(C)
Neste caso, estamos deixando A ser N1 = i, B ser N2 = j e C ser N = i + j. Ou seja, a probabilidade conjunta de N1 e N2 ser i e j respectivamente é igual à probabilidade conjunta deles serem i e j dado que o total de chamadas N é i + j, multiplicada pela probabilidade de que o total de chamadas seja i + j.
Isso faz sentido porque estamos decompondo a probabilidade conjunta em uma parte condicional e outra sem condição, facilitando assim futuras análises sobre a independência e as distribuições individuais de N1 e N2.

Resposta

Conseguimos mostrar que:
P(N1=i, N2=j) = P(N1=i, N2=j mid N=i+j) P(N=i+j)

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