O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
a) Mostre que
a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que estamos vendo aqui é um problema de Processos de Poisson, que é uma parte da probabilidade. A gente tem uma torre de celular que recebe chamadas durante uma hora, e o total de chamadas segue uma distribuição de Poisson com média
. Cada chamada tem uma chance
de ser local e
de ser internacional ou interurbana.
Queremos mostrar que o número de chamadas locais (
) e o número de chamadas internacionais ou interurbanas (
) são independentes e também seguem distribuições de Poisson com médias ajustadas. No item a), especificamente, precisamos provar uma relação entre as probabilidades conjuntas dessas variáveis aleatórias.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que precisa ser provado:
Isso é uma aplicação direta da fórmula da probabilidade condicional, que diz que:
Neste caso, estamos deixando
ser
,
ser
e
ser
. Ou seja, a probabilidade conjunta de
e
ser
e
respectivamente é igual à probabilidade conjunta deles serem
e
dado que o total de chamadas
é
, multiplicada pela probabilidade de que o total de chamadas seja
.
Isso faz sentido porque estamos decompondo a probabilidade conjunta em uma parte condicional e outra sem condição, facilitando assim futuras análises sobre a independência e as distribuições individuais de
e
.
Resposta
Conseguimos mostrar que: