Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por N o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por X o valor observado neste lançamento.
Verifique se N e X são independentes.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um dado justo que a gente joga várias vezes até sair um número diferente de 6. Vamos chamar de N o número total de jogadas que precisamos fazer até isso acontecer, e de X o número que saiu nessa última jogada (que, por definição, não é 6). A matéria envolvida aqui é Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre variáveis aleatórias e independência entre elas. A gente vai precisar entender conceitos de distribuição geométrica e independência de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a variável N. Ela representa o número de tentativas até obter um sucesso, onde “sucesso” é tirar um número diferente de 6. Como o dado é justo, a probabilidade de tirar um número diferente de 6 é 56, e a probabilidade de tirar 6 é 16. Isso caracteriza uma distribuição geométrica para N, onde:
P(N = k) = (16)^k-1 times 56, para k = 1, 2, 3, dots

Passo 3

Agora, vamos analisar a variável X. Ela é o número que saiu na última jogada, que, como mencionamos, não pode ser 6. Então, X pode ser qualquer um dos números 1, 2, 3, 4 ou 5, cada um com probabilidade igual de 15. Isso porque, dado que não saiu 6, as outras opções são igualmente prováveis.

Passo 4

Para verificar se N e X são independentes, precisamos ver se a probabilidade conjunta deles é igual ao produto das probabilidades individuais. Ou seja, queremos saber se:
P(N = k e X = x) = P(N = k) times P(X = x)
para todo k e para todo x in 1, 2, 3, 4, 5.

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade conjunta P(N = k e X = x). Para que isso aconteça, as primeiras k-1 jogadas precisam sair 6, e na k-ésima jogada sair exatamente o número x. A probabilidade disso é:
P(N = k e X = x) = (16)^k-1 times 16 = (16)^k
Note que a probabilidade de sair cada número específico x na última jogada é 16, não 15 como mencionamos antes. Isso porque cada face do dado tem a mesma probabilidade de ocorrer.

Passo 6

Agora, vamos verificar o produto das probabilidades individuais:
P(N = k) times P(X = x) = (16)^k-1 times 56 times 15 = (16)^k-1 times 16 = (16)^k

Passo 7

Comparando as duas expressões:
P(N = k e X = x) = (16)^k = P(N = k) times P(X = x)
Como elas são iguais para todo k e x, isso demonstra que N e X são independentes.

Resposta

Sim, as variáveis N e X são independentes.

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