Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por o valor observado neste lançamento.
Verifique se e são independentes.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um dado justo que a gente joga várias vezes até sair um número diferente de 6. Vamos chamar de o número total de jogadas que precisamos fazer até isso acontecer, e de o número que saiu nessa última jogada (que, por definição, não é 6). A matéria envolvida aqui é Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre variáveis aleatórias e independência entre elas. A gente vai precisar entender conceitos de distribuição geométrica e independência de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a variável . Ela representa o número de tentativas até obter um sucesso, onde “sucesso” é tirar um número diferente de 6. Como o dado é justo, a probabilidade de tirar um número diferente de 6 é , e a probabilidade de tirar 6 é . Isso caracteriza uma distribuição geométrica para , onde:

Passo 3

Agora, vamos analisar a variável . Ela é o número que saiu na última jogada, que, como mencionamos, não pode ser 6. Então, pode ser qualquer um dos números 1, 2, 3, 4 ou 5, cada um com probabilidade igual de . Isso porque, dado que não saiu 6, as outras opções são igualmente prováveis.

Passo 4

Para verificar se e são independentes, precisamos ver se a probabilidade conjunta deles é igual ao produto das probabilidades individuais. Ou seja, queremos saber se:
para todo e para todo .

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade conjunta . Para que isso aconteça, as primeiras jogadas precisam sair 6, e na -ésima jogada sair exatamente o número . A probabilidade disso é:
Note que a probabilidade de sair cada número específico na última jogada é , não como mencionamos antes. Isso porque cada face do dado tem a mesma probabilidade de ocorrer.

Passo 6

Agora, vamos verificar o produto das probabilidades individuais:

Passo 7

Comparando as duas expressões:
Como elas são iguais para todo e , isso demonstra que e são independentes.

Resposta

Sim, as variáveis e são independentes.

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Determine a probabilidade de escolhermos: Uma pessoa sem opinião, sabendo se que ela é do sexo masculino.
Período Sexo Reforma Agrária
Contra A Favor Sem Opinião
Diurno Feminino 2 8 2
Masculino 8 9 8
Noturno Feminino 4 8 2
Masculino 12 10 1
Mostre que se e independentes, então . Lembre-se que
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média . Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade de ser local e de ser internacional ou interurbana. Seja o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que e são independentes, e têm distribuição de Poisson de média e , respectivamente, siga os passos abaixo.
a) Mostre que
A função de probabilidade conjunta de e é dada por
a) Encontre as funções de probabilidade marginais de e ;