Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por
o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por
o valor observado neste lançamento.
Verifique se
e
são independentes.
Verifique se
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um dado justo que a gente joga várias vezes até sair um número diferente de 6. Vamos chamar de
o número total de jogadas que precisamos fazer até isso acontecer, e de
o número que saiu nessa última jogada (que, por definição, não é 6). A matéria envolvida aqui é Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre variáveis aleatórias e independência entre elas. A gente vai precisar entender conceitos de distribuição geométrica e independência de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a variável
. Ela representa o número de tentativas até obter um sucesso, onde “sucesso” é tirar um número diferente de 6. Como o dado é justo, a probabilidade de tirar um número diferente de 6 é
, e a probabilidade de tirar 6 é
. Isso caracteriza uma distribuição geométrica para
, onde:
Passo 3
Agora, vamos analisar a variável
. Ela é o número que saiu na última jogada, que, como mencionamos, não pode ser 6. Então,
pode ser qualquer um dos números 1, 2, 3, 4 ou 5, cada um com probabilidade igual de
. Isso porque, dado que não saiu 6, as outras opções são igualmente prováveis.
Passo 4
Para verificar se
e
são independentes, precisamos ver se a probabilidade conjunta deles é igual ao produto das probabilidades individuais. Ou seja, queremos saber se:
para todo
e para todo
.
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade conjunta
. Para que isso aconteça, as primeiras
jogadas precisam sair 6, e na
-ésima jogada sair exatamente o número
. A probabilidade disso é:
Note que a probabilidade de sair cada número específico
na última jogada é
, não
como mencionamos antes. Isso porque cada face do dado tem a mesma probabilidade de ocorrer.
Passo 6
Agora, vamos verificar o produto das probabilidades individuais:
Passo 7
Comparando as duas expressões:
Como elas são iguais para todo
e
, isso demonstra que
e
são independentes.
Resposta
Sim, as variáveis
e
são independentes.
Exercícios relacionados
Determine a probabilidade de escolhermos: Uma pessoa sem opinião, sabendo se que ela é do sexo masculino.
Período | Sexo | Reforma Agrária | ||
---|---|---|---|---|
Contra | A Favor | Sem Opinião | ||
Diurno | Feminino | 2 | 8 | 2 |
Masculino | 8 | 9 | 8 | |
Noturno | Feminino | 4 | 8 | 2 |
Masculino | 12 | 10 | 1 |
Mostre que se
e
independentes, então
. Lembre-se que
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
a) Mostre que
a) Mostre que
A função de probabilidade conjunta de
e
é dada por
a) Encontre as funções de probabilidade marginais de
e
;