Seja uma função qualquer tal que, para todo , verifica-se a igualdade . Calcule o valor da expressão e deixe claro como chegou à resposta.

Passo 1

Beleza, então temos uma função que, para qualquer número real , satisfaz a igualdade . Nosso objetivo aqui é calcular o valor da expressão . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que e representam as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Queremos encontrar essas derivadas no ponto e depois combiná-las da forma dada.

Passo 3

Vamos diferenciar a igualdade dada em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos permite diferenciar funções compostas. A derivada de em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito da igualdade em relação a :

Passo 5

Igualando as duas expressões derivadas:

Passo 6

Agora, queremos encontrar . Observamos que quando , e , ou seja, estamos no ponto . Substituindo na equação acima:

Passo 7

Queremos isolar . Dividindo toda a equação por 2:

Resposta

O valor de é 8.

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Uma função de produção é dada por . Sabe-se que os insumos e variam ao longo do tempo de acordo com as equações
em que e são constantes positivas.
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