Seja
uma função qualquer tal que, para todo
, verifica-se a igualdade
. Calcule o valor da expressão
e deixe claro como chegou à resposta.
Passo 1
Beleza, então temos uma função
que, para qualquer número real
, satisfaz a igualdade
. Nosso objetivo aqui é calcular o valor da expressão
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
e
representam as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Queremos encontrar essas derivadas no ponto
e depois combiná-las da forma dada.
Passo 3
Vamos diferenciar a igualdade dada
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos permite diferenciar funções compostas. A derivada de
em relação a
fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito da igualdade
em relação a
:
Passo 5
Igualando as duas expressões derivadas:
Passo 6
Agora, queremos encontrar
. Observamos que quando
,
e
, ou seja, estamos no ponto
. Substituindo
na equação acima:
Passo 7
Queremos isolar
. Dividindo toda a equação por 2:
Resposta
O valor de
é 8.
Exercícios relacionados
Uma função de produção é dada por
. Sabe-se que os insumos
e
variam ao longo do tempo de acordo com as equações
em que
e
são constantes positivas.
a. Mostre que .
a. Mostre que
Determine a massa e o centro de massa de um sólido que tem densidade constante, limitado por
no plano
e pelo parabolóide
(2,0 pontos)
Uma função de produção é dada por
. Sabe-se que os insumos
e
variam ao longo do tempo de acordo com as equações
em que
e
são constantes positivas.
b. Calcule para
.
b. Calcule