Uma função de produção é dada por P(K, L) = 2 * K^(0.7) * L^(0.3). Sabe-se que os insumos K e L variam ao longo do tempo de acordo com as equações
K(t) = t^2 + gamma t + beta e L(t) = beta * e^(lambda t)
em que gamma, beta e lambda são constantes positivas.
a. Mostre que K(0) = L(0).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e nos conceitos que precisamos usar. Temos uma função de produção que mostra como os insumos e influenciam a produção. Também temos as equações que descrevem como esses insumos variam no tempo:
onde , e são constantes positivas. O objetivo é mostrar que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa e . Isso representa os valores dos insumos e no tempo .

Passo 3

Vamos calcular substituindo na equação de :
Porque e , restando apenas .

Passo 4

Agora, vamos calcular substituindo na equação de :
Sabemos que , então:

Resposta

Assim, mostramos que e , portanto .

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