A função
se
e
se
é contínua no ponto ( 1,0
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função quando
e
quando
é contínua no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar o valor da função no ponto
. Como
, que satisfaz
, usamos a primeira definição da função:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Mas atenção: precisamos considerar de onde
está se aproximando desse ponto, ou seja, se está vindo de dentro da circunferência
ou de fora
.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular o limite quando
se aproxima de
de dentro da circunferência, onde
. Nessa região, a função
, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de
de fora da circunferência, onde
. Nesse caso:
À medida que
se aproxima de
de fora,
se aproxima de 1, então
se aproxima de 0. Portanto:
Passo 7
Observamos que os limites obtidos por diferentes caminhos não são iguais:
Como os limites não coincidem, o limite geral
não existe.
Resposta
Não, a função
não é contínua no ponto
porque os limites provenientes de dentro e de fora da circunferência não são iguais ao valor da função nesse ponto.