A função f(x, y) = sen(raiz(x^2 + y^2 - 1)) se x² + y² ≥ 1 e f(x, y) = 1 se x^2 + y^2 < 1 é contínua no ponto ( 1,0 ) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função quando e quando é contínua no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Uma função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:

Passo 3

Vamos identificar o valor da função no ponto . Como , que satisfaz , usamos a primeira definição da função:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de . Mas atenção: precisamos considerar de onde está se aproximando desse ponto, ou seja, se está vindo de dentro da circunferência ou de fora .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o limite quando se aproxima de de dentro da circunferência, onde . Nessa região, a função , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de de fora da circunferência, onde . Nesse caso:
À medida que se aproxima de de fora, se aproxima de 1, então se aproxima de 0. Portanto:

Passo 7

Observamos que os limites obtidos por diferentes caminhos não são iguais:
Como os limites não coincidem, o limite geral não existe.

Resposta

Não, a função não é contínua no ponto porque os limites provenientes de dentro e de fora da circunferência não são iguais ao valor da função nesse ponto.

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