Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar as derivadas parciais da função
. Derivadas parciais são como as derivadas normais, mas a gente foca em uma variável de cada vez enquanto mantém as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções com múltiplas variáveis e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Podemos reescrever como
.
Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando a mesma função reescrita
, aplicamos a regra da cadeia novamente.
Então,
Passo 4
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Mais uma vez, usando
e aplicando a regra da cadeia:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
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A função
se
e
se
é contínua no ponto ( 1,0
? Justifique sua resposta.
Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace
.
Um automóvel percorre uma estrada e num dado instante ele está no ponto tal que
e a projeção do seu vetor velocidade no plano
é
. Sabendo que a altura dos pontos do terreno onde se situa a estrada é dada por
, diga se a altitude do carro está aumentando ou diminuindo no ponto considerado.